Question

【題目】在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°．

（1）如圖1，當點A、C、D在同一條直線上時，AC=12，EC=5．
①求證：AF⊥BD，
②求AF的長度；
（2）如圖2，當點A、C、D不在同一條直線上時．求證：AF⊥BD；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接CF并延長CF交AD于點G，∠AFG是一個固定的值嗎？若是，求出∠AFG的度數，若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）①證明：如圖1，

∵AC=BC，∠ACB=∠ECD=90°，EC=DC，∴△ACE≌△BCD，

∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴∠BFE=∠ACE=90°，∴AF⊥BD．

②解：∵∠ECD=90°，BC= AC=12，DC= EC=5，∴BD=13，

∵S△ABD= AD·BC= BD·AF，∴AF= ．

（法2：∵∠ECD=90°，BC= AC=12，DC= EC=5，∴AE=BD=13，BE=7，設EF=x，

∵∠BFE=90°，∴BF2=BE2-EF2，BF2=AB2-AF2，∴72-x2=288-（13+x）2，

∴x= ，∴AF=13+ = ．）

（2）證明：如圖4，∵∠ACB=∠ECD，∴∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，

∵AC=BC，∠ACE=∠BCD，EC=DC，∴△ACE≌△BCD，∴∠1=∠2，

∵∠3=∠4，∴∠BFA=∠BCA=90°，∴AF⊥BD．

（3）解：∠AFG=45°．

如圖4，

過點C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分別為M、N，

∵△ACE≌△BCD，∴S△ACE=S△BCD，AE=BD，∵S△ACE= AE·CN，

S△BCD= BD·CM，∴，

∵CM⊥BD，CN⊥AE，∴CF平分∠BFE，

∵AF⊥BD，∴∠BFE=90°，∴∠EFC=45°，∴∠AFG=45°．

（法2：過點C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分別為M、N，∵CM⊥BD，CN⊥AE，

∴∠BMC=∠ANC=90°，∵△ACE≌△BCD，∴∠1=∠2，∵∠BMC=∠ANC=90°，∠1=∠2，

AC=BC，∴△BCM≌△ACN，∴CM=CN，∵CM⊥BD，CN⊥AE，∴CF平分∠BFE，

∵AF⊥BD，∴∠BFE=90°，∴∠EFC=45°，∴∠AFG=45°．）

【解析】（1）①由題中標志性條件”AC=BC，EC=DC“可證△ACE≌△BCD，對應角相等，進而可證出垂直；②利用的結論轉化AE=BD，EC=ED，利用面積法求出AF的長；（2）借鑒（1）的思路方法，仍然證△ACE≌△BCD，進而證出AF⊥BD；（3）由（2）的結論，可根據面積相等，底邊相等，則高相等，即到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上，得出CF平分∠BFE，進而得出∠AFG=45°.