Question

【題目】問題提出

（1）如圖①，在等腰Rt△ABC中，斜邊AC＝4，點(diǎn)D為AC上一點(diǎn)，連接BD，則BD的最小值為　 　；

問題探究

（2）如圖②，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，點(diǎn)M是BC上一點(diǎn)，且BM＝4，點(diǎn)P是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接PM，將△BPM沿PM翻折得到△DPM，點(diǎn)D與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)，連接AD，求AD的最小值；

問題解決

（3）如圖③，四邊形ABCD是規(guī)劃中的休閑廣場(chǎng)示意圖，其中∠BAD＝∠ADC＝135°，∠DCB＝30°，AD＝2km，AB＝3km，點(diǎn)M是BC上一點(diǎn)，MC＝4km．現(xiàn)計(jì)劃在四邊形ABCD內(nèi)選取一點(diǎn)P，把△DCP建成商業(yè)活動(dòng)區(qū)，其余部分建成景觀綠化區(qū)．為方便進(jìn)入商業(yè)區(qū)，需修建小路BP、MP，從實(shí)用和美觀的角度，要求滿足∠PMB＝∠ABP，且景觀綠化區(qū)面積足夠大，即△DCP區(qū)域面積盡可能小．則在四邊形ABCD內(nèi)是否存在這樣的點(diǎn)P？若存在，請(qǐng)求出△DCP面積的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】(1)2;(2);(3) 存在點(diǎn)P，使得△DCP的面積最小，△DCP面積的最小值是（﹣20）km2．

【解析】

（1）如圖1，當(dāng)BD⊥AC時(shí)，BD的值最小，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得結(jié)論；

（2）如圖2，根據(jù)BM＝DM可知：點(diǎn)D在以M為圓心，BM為半徑的⊙M上，連接AM交⊙M于點(diǎn)D'，此時(shí)AD值最小，計(jì)算AM和半徑D'M的長(zhǎng)，可得AD的最小值；

（3）如圖3，先確定點(diǎn)P的位置，再求△DCP的面積；假設(shè)在四邊形ABCD中存在點(diǎn)P，以BM為邊向下作等邊△BMF，可知：A、F、M、P四點(diǎn)共圓，作△BMF的外接圓⊙O，圓外一點(diǎn)與圓心的連線的交點(diǎn)就是點(diǎn)P的位置，并構(gòu)建直角三角形，計(jì)算CD和PQ的長(zhǎng)，由三角形的面積公式可求得面積．

解：（1）當(dāng)BD⊥AC時(shí)，如圖1，

∵AB＝BC，

∴D是AC的中點(diǎn)，

∴BD＝AC＝×4＝2，即BD的最小值是2；

故答案為2；

（2）如圖2，由題意得：DM＝MB，

∴點(diǎn)D在以M為圓心，BM為半徑的⊙M上，連接AM交⊙M于點(diǎn)D'，此時(shí)AD值最小，

過A作AE⊥BC于E，

∵AB＝AC＝5，

∴BE＝EC＝BC＝ ，

由勾股定理得：AE＝4，

∵BM＝4，

∴EM＝4﹣3＝1，

∴AM＝ ，

∵D'M＝BM＝4，

∴AD'＝AM﹣D'M＝ ﹣4，

即線段AD長(zhǎng)的最小值是﹣4；

（3）如圖3，假設(shè)在四邊形ABCD中存在點(diǎn)P，

∵∠BAD＝∠ADC＝135°，∠DCB＝30°，

∴∠ABC＝360°﹣∠BAD﹣∠ADC﹣∠DCB＝60°，

∵∠PMB＝∠ABP，

∴∠BPM＝180°﹣∠PBM﹣∠PMB＝180°﹣（∠PBM+∠ABP）＝180°﹣∠ABC＝120°，

以BM為邊向下作等邊△BMF，作△BMF的外接圓⊙O，

∵∠BFM+∠BPM＝60°+120°＝180°，則點(diǎn)P在 上，

過O作OQ⊥CD于Q，交⊙O于點(diǎn)P，

設(shè)點(diǎn)P'是上任意一點(diǎn)，連接OP'，過P'作P'H⊥CD于H，

可得OP'+P'H≥OQ＝OP+PQ，即P'H≥PQ，

∴P即為所求的位置，

延長(zhǎng)CD，BA交于點(diǎn)E，

∵∠BAD＝∠ADC＝135°，∠DCB＝30°，∠ABC＝60°，

∴∠E＝90°，∠EAD＝∠EDA＝45°，

∵AD＝2 ，

∴AE＝DE＝2，

∴BE＝AE+AB＝5，BC＝2BE＝10，CE＝5，

∴BM＝BC﹣MC＝6，CD＝5﹣2，

過O作OG⊥BM于G，

∵∠BOM＝2∠BFM＝120°，OB＝OM，

∴∠OBM＝30°，

∴∠ABO＝∠ABM+∠MBO＝90°，OB ＝2，

∴∠E＝∠ABO＝∠OQE＝90°，

∴四邊形OBEQ是矩形，

∴OQ＝BE＝5，

∴PQ＝OQ﹣OP＝5﹣2，

∴S△DPC＝ ﹣20，

∴存在點(diǎn)P，使得△DCP的面積最小，△DCP面積的最小值是（﹣20）km2．