Question

已知：如圖，梯形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AD=BC，AC⊥BC，BE⊥AB交AC的延長線于E，EF⊥AD交AD的延長線于F，下列結論：①BD∥EF；②∠AEF=2∠BAC；③AD=DF；④AC="CE+EF." 其中正確的結論有（ ）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

D

根據四邊形ABCD是等腰梯形，可得出的條件有：AC=BD，∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD（可通過全等三角形ABD和BAC得出），OA=OB，OC=OD，∠ACB=∠ADB=90°（三角形ACB和BDA全等）．
①要證BD∥EF就要得出∠ADB=∠EFD，而∠ADB=90°，∠EFD=90°，因此∠ADB=∠EFD，此結論成立；
②由于BD∥EF，∠AEF=∠AOD，而∠AOD=∠OAB+∠OBA=2∠OAB，因此∠AEF=2∠OAB，此結論成立．
③在直角三角形ABE中，∠OAB=∠OBA，∠OAB+∠OEB=∠OBA+∠OBE=90°，因此可得出∠OEB=∠OBE，因此OA=OB=OE，那么O就是直角三角形ABE斜邊AE的中點，由于OD∥EF，因此OD就是三角形AEF的中位線，那么D就是AF的中點，因此此結論也成立．
④由③可知EF=2OD=2OC，而OA=OE=OC+CE．那么
AC=OA+OC=OC+OC+CE=2OC+CE=EF+CE，因此此結論也成立．故選D．