Question

【題目】已知△ABC是等邊三角形，P為△ABC所在平面內一個動點，BP=BA，若0°﹤∠PBC﹤ 180°，且∠PBC的平分線上一點D滿足DB=DA.

(1)當BP和BA重合時(如圖1)，則∠BPD=______°.

(2)當BP在∠ABC內部時(如圖2)，求∠BPD的度數

(3)當BP在∠ABC外部時，請直接寫出∠BPD的度數，并畫出相應的圖形.

Answer 1

【答案】(1)30；(2)∠BPD=30°；(3)圖形見解析，∠BPD=30°或150°.

【解析】

（1）由于P，A重合，DP=DB，∠DBP=∠DPB，因為DB是∠PBC的平分線，因此，∠DBP=∠DPB=30°；
（2）本題可通過構建全等三角形來求解．連接CD，BP=BC，BD又是∠PBC的平分線，三角形PBD和三角形CBD中又有一公共邊，因此兩三角形全等，∠BPD=∠BCD，那么關鍵是求∠BCD的值，那么我們就要看∠BCD和∠ACB的關系了，可通過證明三角形ACD和BCD全等來得出，這兩個三角形中，BD=AD，BC=AC，有一條公共邊CD因此∠BCD=∠ACD=30°，那么就求出∠BPD的度數了；
（3）同（2）的證法完全一樣，步驟有2個，一是得出∠BCD的度數，二是證明三角形BPD和BCD全等，同（2）完全一樣．
（當∠BPD是鈍角時，∠BPD=∠BCD=（360-60）÷2=150°，還是用的（2）中的三角形BPD，BCD全等，BCD，ACD全等）

解：(1)30°

(2)連結CD

∵ D在∠PBC的平分線上

∴∠PBD=∠CBD

∵△ABC是等邊三角形

∴BA=BC=AC，∠ACB=60°

∵BP=BA

∴BP=BC

∵BD=BD

∴△PBD≌△CBD(SAS)

∴∠BPD=∠BCD

∵DB=DA，BC=AC，CD=CD

∴△BCD≌△ACD

∴∠BCD=∠ACD=∠ACB=30°

∴∠BPD=30°

(3)∠BPD=30°或150°