Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過A（﹣1，0），B（2，0），C三點(diǎn)．直線y=mx+0.5交拋物線于A，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上直線AQ上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PF⊥x軸，垂足為F，交AQ于點(diǎn)N．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖①，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段PN=2NF，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖②，線段AC的垂直平分線交x軸于點(diǎn)E，垂足為D，點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，在直線DE上是否存在一點(diǎn)G，使△CMG的周長最小？若存在，請求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+2（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0.5，2.25）（3）在直線DE上存在一點(diǎn)G，使△CMG的周長最小，此時(shí)G（﹣， ）．

【解析】（1）∵拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過A（﹣1，0），B（2，0），

∴將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得： ，

解得a=﹣1，b=1，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+2．

（2）直線y=mx+0.5交拋物線與A、Q兩點(diǎn)，

把A（﹣1，0）代入解析式得：m=0.5，

∴直線AQ的解析式為y=0.5x+0.5．

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為n，則P（n，﹣n2+n+2），N（n，0.5 n+0.5），F（n，0），

∴PN=﹣n2+n+2﹣（0.5n+0.5）=﹣n2+0.5n+1.5，NF=0.5n+0.5．

∵PN=2NF，即﹣n2+0.5n+1.5=2×（0.5n+0.5），解得：n=﹣1或0.5．

當(dāng)n=﹣1時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，不符合題意舍去．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0.5，2.25）．

（3）∵y=﹣x2+x+2，=﹣（x﹣0.5）2+2.25，

∴M（0.5，2.25）．

如圖所示，連結(jié)AM交直線DE與點(diǎn)G，連結(jié)CG、CM此時(shí)，△CMG的周長最小．

設(shè)直線AM的函數(shù)解析式為y=kx+b，且過A（﹣1，0），M（0.5，2.25）．

根據(jù)題意得：-k+b=0,0.5k+b=2.25，

解得k=1.5,b=1.5．

∴直線AM的函數(shù)解析式為y=1.5+1.5．

∵D為AC的中點(diǎn)，∴D（﹣0.5，1）．

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+2，

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得：﹣k+2=0，

解得k=2，

∴AC的解析式為y=2x+2．

設(shè)直線DE的解析式為y=﹣0.5x+c，

將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入得：0.25+c=1，

解得c=0.75，

∴直線DE的解析式為y=﹣0.5x+0.75．

將y=﹣0.5x+0.75與y=1.5+1.5聯(lián)立，解得：x=﹣，y=．

∴在直線DE上存在一點(diǎn)G，使△CMG的周長最小，此時(shí)G（﹣， ）．