Question

【題目】有一系列等式:

1×2×3×4+1=52=(12+3×1+1)2，

2×3×4×5+1=112=(22+3×2+1)2，

3×4×5×6+1=192=(32+3×3+1)2，

4×5×6×7+1=292=(42+3×4+1)2，

……

(1)根據你的觀察，歸納發現規律，寫出9×10×11×12+1的結果是________ ；

(2)式子(n-1) n (n+1) (n+2)+1=___________ ．

Answer 1

【答案】11881

【解析】

（1）觀察下列各式：1×2×3×4+1=52=(12+3×1+1)2，2×3×4×5+1=112=(22+3×2+1)2，

3×4×5×6+1=192=(32+3×3+1)2，4×5×6×7+1=292=(42+3×4+1）2，得出規律：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=(n2+3n+1)2(n≥1)，即可得出9×10×11×12+1的值．

（2）根據（1）得出的規律可得出結論．

（1）觀察下列各式：

1×2×3×4+1=52=(12+3×1+1)2，

2×3×4×5+1=112=(22+3×2+1)2，

3×4×5×6+1=192=(32+3×3+1)2，

4×5×6×7+1=292=(42+3×4+1)2，

得出規律：n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2(n≥1)

所以9×10×11×12+1=(92+3×9+1)2=1092=11881

故答案為：11881

（2）根據（1）的結論得：

(n-1) n (n+1) (n+2)+1=[(n-1)2+3(n-1)+1]2=[n2-2n+1+3n-3+1]2=(n2+n-1)2

故答案為：(n2+n-1)2