Question

【題目】（知識生成）我們已經知道，通過計算幾何圖形的面積可以表示一些代數恒等式．例如圖1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，請解答下列問題：

（1）根據圖2，寫出一個代數恒等式：　 　．

（2）利用（1）中得到的結論，解決下面的問題：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，則a2+b2+c2＝　 　．

（3）小明同學用圖3中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張寬、長分別為a、b的長方形紙片拼出一個面積為（2a+b）（a+2b）長方形，則x+y+z＝　 　．

（知識遷移）（4）事實上，通過計算幾何圖形的體積也可以表示一些代數恒等式，圖4表示的是一個邊長為x的正方體挖去一個小長方體后重新拼成一個新長方體，請你根據圖4中圖形的變化關系，寫出一個代數恒等式：　 　．

Answer 1

【答案】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）30；（3）9；（4）x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x

【解析】

（1）依據正方形的面積＝（a+b+c）2；正方形的面積＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式；

（2）依據a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，進行計算即可；

（3）依據所拼圖形的面積為：xa2+yb2+zab，而（2a+b）（a+2b）＝2a2+4ab+ab+2b2＝2a2+5b2+2ab，即可得到x，y，z的值．

（4）根據原幾何體的體積＝新幾何體的體積，列式可得結論．

（1）由圖2得：正方形的面積＝（a+b+c）2；正方形的面積＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，

∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，

故答案為：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；

（2）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，

∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，

∴102＝a2+b2+c2+2×35，

∴a2+b2+c2＝100﹣70＝30，

故答案為：30；

（3）由題意得：（2a+b）（a+2b）＝xa2+yb2+zab，

∴2a2+5ab+2b2＝xa2+yb2+zab，

∴，

∴x+y+z＝9，

故答案為：9；

（4）∵原幾何體的體積＝x3﹣1×1x＝x3﹣x，

新幾何體的體積＝（x+1）（x﹣1）x，

∴x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．

故答案為：x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．