Question

如圖所示，等腰梯形ABCD，AB∥DC，AD=AB=BC=2，CD=4，有兩個動點P、Q，同時從D點出發，點P沿D-A-B-C以每秒2個單位長度的速度移動，點Q沿線段DC以每秒1個單位長度的速度移動，當點P、Q有一個點到達點C時，另一點也停止移動，若移動的時間為t秒，△DPQ的面積為S個平方單位．
（1）直接寫出S與t的函數關系式：
（2）當t為何值時S取最大值，最大值為多少？
（3）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使直線PQ與等腰梯形ABCD的某一邊所夾的銳角等于30°？若存在，直接寫出t的范圍或t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）S與t的函數關系式是S=t²（0＜t≤1），S=t（1＜t≤2），S=-t²+t（2＜＜3）．

（2）當t=2時，S有最大值，最大值是S=t=，
答：t為2時S取最大值，最大值為．

（3）存在，t的范圍是0＜t≤1 或t=．
分析：（1）根據等邊三角形的性質求出∠D=60°，根據勾股定理求出梯形的高，有3種情況：①0＜t≤1時，根據三角形的面積公式求出即可；②1＜t≤2時，根據三角形的面積公式求出即可；③當2＜t＜3時，根據三角形的面積求出即可；
（2）通過計算得出只有t=2時，S有最大值，把t=2代入即可求出答案；
（3）當P在AD上時，∠DPQ=30°，即可求出t的范圍；當P在BC上時，∠PQC=30°，根據直角三角形的性質求出即可．
點評：本題主要考查對等腰梯形的性質，二次函數的最值，等邊三角形的性質和判定，勾股定理，含30度角的直角三角形性質，三角形的內角和定理，三角形的面積等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．