Question

如圖所示，等腰梯形ABCD中，DC∥AB，對角線AC與BD交于點O，AD=DC，AC=BD=AB．
（1）若∠ABD=a，求a的度數；
（2）求證：OB²=OD•BD．

Answer 1

分析：（1）根據DC∥AB，AD=DC，可以得到∠DAC=∠BAC，又等腰梯形ABCD中∠BAC=∠ABD，在等腰△ABD中，BD=AB利用三角形內角和定理列式求解即可；
（2）根據角的度數，AD=AO=OB，△AOD∽△BAD，根據相似三角形對應邊成比例求解即可．

解答：（1）解：∵DC∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，
∵AD=DC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴∠DAC=∠CAB，
∴∠DAB=2∠CAB=2α，
在等腰梯形ABCD中，∠CAB=∠ABD=α，
又∵BD=AB，
∴∠DAB=∠ADB，
∴在△ABD中，
α+2×2α=180°，
解得α=36°；

（2）證明：∵α=36°，
∴∠DAC=∠CAB=36°，
∠ADB=∠DAB=36°×2=72°，
∴AD=AO=OB，△AOD∽△BAD，
∴

OD

AD

=

AD

BD

，
∴AD²=OD•BD，
即OB²=OD•BD．

點評：（1）考查等腰梯形的性質，利用等邊對等角的性質推出角的關系再利用三角形內角和定理求出角是解題的關鍵；
（2）根據特殊的三角形判定三角形相似，進一步運用相似三角形對應邊成比例求解是解本題的基本思路．