Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，AB⊥AC，AB=AC= ，點E在AD上，且AE=2ED．
（Ⅰ）已知點F在BC上，且CF=2FB，求證：平面PEF⊥平面PAC；
（Ⅱ）若△PBC的面積是梯形ABCD面積的 ，求點E到平面PBC的距離．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：∵AB⊥AC，AB=AC，∴∠ACB=45°， ∵底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，
∴∠ACD=45°，即AD=CD，
∴ ，
∵AE=2ED，CF=2FB，∴ ，
∴四邊形ABFE是平行四邊形，則AB∥EF，
∴AC⊥EF，
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥EF，
∵PA∩AC=A，
∴EF⊥平面PAC，∵EF平面PEF，
∴平面PEF⊥平面PAC．
（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABCD，且AB=AC，∴PB=PC，
取BC的中點為G，連接AG，則AG⊥BC，AG=CD=1
設PA=x，連接PG，則 ，
∵側面PBC的面積是底面ABCD的 倍，
∴ ，即PG=2，求得 ，
∵AD∥BC，∴E到平面PBC的距離即時A到平面PBC的距離，
∵VA﹣PBC=VP﹣ABC ， S△PBC=2S△ABC ，
∴E到平面PBC的距離為 ．

【解析】（Ⅰ）已知點F在BC上，且CF=2FB，證明EF⊥平面PAC，即可證明：平面PEF⊥平面PAC；（Ⅱ）E到平面PBC的距離即時A到平面PBC的距離，利用VA﹣PBC=VP﹣ABC ， 求點E到平面PBC的距離．
【考點精析】掌握平面與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．