Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
（1）圖1中共有______對相似三角形，寫出來分別為______（不需證明）；
（2）已知AB=10，AC=8，請你求出CD的長；
（3）在（2）的情況下，如果以AB為x軸，CD為y軸，點D為坐標原點O，建立直角坐標系（如圖2），若點P從C點出發，以每秒1個單位的速度沿線段CB運動，點Q出B點出發，以每秒1個單位的速度沿線段BA運動，其中一點最先到達線段的端點時，兩點即刻同時停止運動；設運動時間為t秒是否存在點P，使以點B、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）圖1中共有3對相似三角形，分別為：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ABC∽△CBD．
故答案為3，△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ABC∽△CBD；

（2）如圖1，在△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=10，AC=8，
∴BC=

AB2-AC2

=6．
∵△ABC的面積=

1

2

AB•CD=

1

2

AC•BC，
∴CD=

AC•BC

AB

=

6×8

10

=4.8；

（3）存在點P，使以點B、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似，理由如下：
在△BOC中，∵∠COB=90°，BC=6，OC=4.8，
∴OB=

BC2-OC2

=3.6．
分兩種情況：
①當∠BQP=90°時，如圖2①，此時△PQB∽△ACB，
∴

BP

AB

=

BQ

BC

，
∴

6-t

10

=

t

6

，
解得t=2.25，即BQ=CP=2.25，
∴OQ=OB-BQ=3.6-2.25=1.35，BP=BC-CP=6-2.25=3.75．
在△BPQ中，由勾股定理，得PQ=

BP2-BQ2

=

3.752-2.252

=3，
∴點P的坐標為（1.35，3）；
②當∠BPQ=90°時，如圖2②，此時△QPB∽△ACB，
∴

BP

BC

=

BQ

AB

，
∴

6-t

6

=

t

10

，
解得t=3.75，即BQ=CP=3.75，BP=BC-CP=6-3.75=2.25．
過點P作PE⊥x軸于點E．
∵△QPB∽△ACB，
∴

PE

CO

=

BQ

AB

，即

PE

4.8

=

3.75

10

，
∴PE=1.8．
在△BPE中，BE=

BP2-PE2

=

2.252-1．82

=0.45，
∴OE=OB-BE=3.6-0.45=3.15，
∴點P的坐標為（3.15，1.8）；
綜上可得，點P的坐標為（1.35，3）或（3.15，1.8）．