Question

【題目】如圖①，△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于點H，點D在AH上，且DH＝CH，連接BD.(1)求證：BD=AC；

(2)將△BHD繞點H旋轉(zhuǎn)，得到△EHF（點B，D分別與點E，F(xiàn)對應），連接AE.

ⅰ）如圖②，當點F落在AC上時（F不與C重合），若BC＝4，tanC=3,求AE的長；

ⅱ）如圖③，當△EHF是由△BHD繞點H逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到時，設(shè)射線CF與AE相交于點G，連接GH，試探究線段GH與EF之間滿足的等量關(guān)系，并說明理由。

Answer 1

【答案】(1)證明見解析;(2)(I)AE=;(II) .

【解析】（1）先判斷出AH=BH，再判斷出△BHD≌△AHC即可；

（2）①先根據(jù)tanC=3，求出AH=3，CH=1，然后根據(jù)△EHA≌△FHC，得到，HP=3AP，AE=2AP，最后用勾股定理即可；

②先判斷出△AGQ∽△CHQ，得到，然后判斷出△AQC∽△GQH，用相似比即可．

解：（1）在Rt△AHB中，∠ABC=45°，

∴AH=BH，

在△BHD和△AHC中，

AH=BH，∠BHD=∠AHC=90°，DH=CH，

∴△BHD≌△AHC，

∴BD=AC，

（2）①如圖，

在Rt△AHC中，

∵tanC=3，∴=3，

設(shè)CH=x，∴BH=AH=3x，

∵BC=4，∴3x+x=4，∴x=1，

∴AH=3，CH=1，

由旋轉(zhuǎn)知，∠EHF=∠BHD=∠AHC=90°，EH=AH=3，CH=DH=FH，

∴∠EHA=∠FHC， ，

∴△EHA≌△FHC，

∴∠EAH=∠C，

∴tan∠EAH=tanC=3，

過點H作HP⊥AE，

∴HP=3AP，AE=2AP，

在Rt△AHP中，AP2+HP2=AH2，

∴AP2+（3AP）2=9，

∴AP=，

∴AE=；

②由①有，△AEH和△FHC都為等腰三角形，

∴∠GAH=∠HCG=90°，

∴△AGQ∽△CHQ，

∴，

∴，

∵∠AQC=∠GQE，

∴△AQC∽△GQH，

∴=sin30°=．

　 “點睛”此題是幾何變換綜合題，主要考查例 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，銳角三角函數(shù)的意義，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是相似三角形性質(zhì)和判定的運用.