Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A、C分別在y軸和x軸的正半軸，矩形OABC
的面積為36，以AO為直徑作⊙D，2OC=9AD
（1）求圓心D的坐標；
（2）動點P從A出發沿線段AB以每秒1個單位的速度向終點B運動，過P作⊙D的切線交x軸于Q，切點為E，若OQ的長度為y，點P的運動時間為t，求y與x的函數關系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，當t為何值時△PDQ與以P、B、C為頂點的三角形相似？

Answer 1

分析：（1）設AD=r，表示出AO、OC，然后根據矩形的面積列式求解即可得到r，再寫出點D的坐標即可；
（2）根據切線長定理可得∠APD=∠EPD，∠OQD=∠EQD，然后求出∠APD+∠OQD=90°，再求出∠APD+∠ADP=90°，從而得到∠ADP=∠OQD，然后求出△ADP和△OQD相似，根據相似三角形對應邊成比例列式計算即可得解，根據AB的長度寫出t的取值范圍；
（3）利用勾股定理列式求出DP、DQ，然后求出

DP

DQ

，再根據相似三角形對應邊成比例分兩種情況列出比例式計算即可得解．

解答：解：（1）設AD=r，則AO=2r，
∵2OC=9AD，
∴OC=

9

2

r，
∴矩形OABC的面積=AO•OC=2r•

9

2

r=9r²=36，
解得r=2，
∴點D的坐標為（0，2）；

（2）由切線長定理得，∠APD=∠EPD，∠OQD=∠EQD，
∵AB∥OC，
∴∠APD+∠EPD+∠OQD+∠EQD=180°，
∴∠APD+∠OQD=90°，
∵∠OAB=90°，
∴∠APD+∠ADP=90°，
∴∠ADP=∠OQD，
又∵∠OAB=∠AOC=90°，
∴△ADP∽△OQD，
∴

AP

OD

=

AD

OQ

，
即

t

2

=

2

y

，
∴y=

4

t

，
∵OC=

9

2

r=

9

2

×2=9，
∴0＜t＜9；

（3）由勾股定理得，DP=

AP2+AD2

=

t2+22

=

t2+4

，
DQ=

OQ2+OD2

=

( 4 t )2+22

=

16 t2 +4

，
∴

DP

DQ

=

t2+4

16 t2 +4

=

t

2

，
∵∠APD+∠OQD=90°，
∴∠PQD+∠QPD=90°，
∴∠PDQ=90°，
∵△PDQ與以P、B、C為頂點的三角形相似，
∴

DP

DQ

=

PB

BC

或

DP

DQ

=

BC

PB

，
即

t

2

=

9-t

4

或

t

2

=

4

9-t

，
整理得，2t=9-t或t²-9t+8=0，
解得t=3或t₁=1，t₂=8，
∵0＜t＜9，
∴t為1秒或3秒或8秒時，△PDQ與以P、B、C為頂點的三角形相似．

點評：本題是圓的綜合題型，主要利用了切線長定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質，矩形的性質，（2）求出兩三角形相似是解題的關鍵，（3）要注意分情況討論．