Question

如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足為E，

DE

AE

=

3

4

，BE=1，F是BC的中點．現有下列四個結論：①DE=3；②四邊形DEBC的面積等于9；③（AC+BD）（AC-BD）=80；④DF=DE．其中正確結論的個數為（　　）

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

分析：可設DE=3k，則AE=4k，AD=5K，BE=k，從而求出邊長及高，計算面積；連接BD、AC，根據勾股定理可求對角線的長度；
作DH⊥BC于H點，則DH=DE，比較DH與DF的大小．

解答：解：設DE=3k，則AE=4k，AD=5K，BE=k=1，
∴AB=5，DE=3．故①正確；
S_梯形DEBC=

1

2

×（1+5）×3=9，故②正確；
∵DE=3，EB=1，∴DB=

10

．
又∵S_ABCD=AB×DE=5×3=15，
S_ABCD=

1

2

×BD×AC，
∴15=

1

2

×

10

×AC，
AC=3

10

．
（AC+BD）（AC-BD）
=AC²-BD²=（3

10

）²-

10

²=90-10=80．故③正確；
作DH⊥BC于H點．
∵DE⊥AB，DH⊥BC，∠ABD=∠CBD，
∴DE=DH．
又DH＜DF，
∴DE＜DF．故④錯誤．
所以①②③正確．
故選C．

點評：此題主要考查了菱形的性質及面積計算，有一定的綜合性，屬中等難度．