Question

【題目】已知△ABC，AB=AC，D為直線BC上一點，E為直線AC上一點，AD=AE ，設∠BAD=α，∠CDE=β．

（1）如圖，若點D在線段BC上，點E在線段AC上．

①如果∠ABC=60°，∠ADE=70°， 那么α=_______，β=_______．

②求α、β之間的關系式．

（2）是否存在不同于以上②中的α、β之間的關系式？若存在，求出這個關系式，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①20，10；②α=2β；（2）α=2β-180°．

【解析】

試題分析：（1）①在△ADE中，由AD=AE，∠ADE=70°，不難求出∠AED和∠DAE；由AB=AC，∠ABC=60°，可得∠BAC=∠C=∠ABC=60°，則α=∠BAC-∠DAE，再根據三角形外角的性質可得β=∠AED-∠C；②求解時可借助設未知數的方法，然后再把未知數消去的方法，可設∠ABC=x，∠ADE=y；（2）有很多種不同的情況，做法與（1）中的②類似，可求這種情況：點E在CA延長線上，點D在線段BC上．

試題解析：（1）①∵AD=AE，∴∠AED=∠ADE=70°，∠DAE=40°，又∵AB=AC，∠ABC=60°，∴∠BAC=∠C=∠ABC=60°，∴α=∠BAC-∠DAE=60°-40°=20°，β=∠AED-∠C=70°-60°=10°；

②設∠ABC=x，∠ADE=y，則∠ACB=x，∠AED=y，在△DEC中，y=β+x，在△ABD中，α+x=y+β，∴α=2β．

（2）如圖2，點E在CA延長線上，點D在線段BC上，設∠ABC=x，∠ADE=y，則∠ACB=x，∠AED=y，在△ABD中，x+α=β-y，在△DEC中，x+y+β=180°，∴α=2β-180°．

注：求出其它關系式，相應給分，如點E在CA的延長線上，點D在CB的延長線上，可得α=180°-2β．