Question

【題目】如圖，已知：△ABC的外接圓⊙O的圓心O在等腰△ABD的底邊AD上，點E為弧AB上的一點，AB平分∠EAD，∠C＝60°，AB＝BD＝3．

（1）求證：BD是⊙O的切線；

（2）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2） .

【解析】

（1）連接OB，根據圓的基本性質，證OB⊥BD，即可得BD是⊙O的切線；（2）連接OE、BE，在Rt△OBD中，∠D＝30°，BD＝3，得OB＝，證E，B是半圓周的三等分點，得EB∥AO，證得S△ABE＝S△OBE，根據S陰影＝S扇形OEB可得.

（1）證明：連接OB，

∵∠C＝60°，

∴∠AOB＝2∠C＝120°，

∵OA＝OB，

∴∠BAO＝∠ABO＝30°，

∴AB＝BD，

∠BAO＝∠D＝30°，

∴∠ABD＝180°﹣∠BAO﹣∠D＝120°，

∴∠OBD＝∠ABD﹣∠ABO＝120°﹣30°＝90°，

即OB⊥BD，

∴BD是⊙O的切線；

（2）連接OE、BE，

在Rt△OBD中，∠D＝30°，BD＝3，

∴OB＝，

∵AB平分∠EAD，

∴∠EAB＝∠BAO＝30°，

∴∠EOB＝∠BOD＝60°，

∴E，B是半圓周的三等分點，

又∵OE＝OB，

∴△OBE是等邊三角形，

∴∠OEB＝∠AOE＝60°，

∴EB∥AO，

∴S△ABE＝S△OBE，

∴S陰影＝S扇形OEB＝．