Question

如圖，從⊙O外一點A作⊙O的切線AB、AC，切點分別為B、C，且⊙O的直經BD=6，連接CD、AO、BC，且AO與BC相交于點E．
（1）求證：CD∥AO；
（2）設CD=x，AO=y，求y與x之間的函數關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；
（3）請閱讀下方資源鏈接內容．在（2）的基礎上，若CD、AO的長分別為一元二次方程x²-（4m+1）x+4m²+2=0的兩個實數根，求AB的長．

Answer 1

（1）連接OC，…（1分）
∵AB、AC是⊙O的切線，
∴∠ACO=∠ABO=90°，
在Rt△ACO和Rt△ABO中，

OC=OB AO=AO

，
∴Rt△ACO≌Rt△ABO（HL），
∴AB=AC，∠1=∠2，
∴AO⊥BC，
∴∠AEC=90°，…（2分）
∵BD是⊙O的直徑，∴∠DCB=90°，
∴∠DCB=∠AEC，
∴CD∥AO；…（3分）

（2）∵CD∥AO，∴∠3=∠4，
∵AB是⊙O的切線，DB是直徑，
∴∠DCB=∠ABO=90°，
∴△BDC∽△AOB，…（4分）
∴

BD

AO

=

DC

OB

，即

6

y

=

x

3

，
∴y=

18

x

，…（5分）
且自變量x的取值范圍為0＜x＜6；…（6分）

（3）∵CD、AO的長分別為一元二次方程x²-（4m+1）x+4m²+2=0的兩個實數根，
∴x•y=4m²+2，…（7分）
又由（2）知y=

18

x

，
∴xy=18，
∴4m²+2=18，
∴m=±2，…（8分）
①當m=2時，原方程可化為x²-9x+18=0，∴x=3或6；
由（2）知x＜6，∴只能取x=3，
∴CD=3，AO=6，
在Rt△AOB中，AO=6，OB=3，
∴AB=

62-33

=3

3

；…（9分）
②當m=-2時，原方程可化為x²+7x+18=0，
∵△=7²-4×1×18＜0，∴方程無解，…（10分）
綜上，AB的長為3

3

．