Question

【題目】如圖1，在中，，為上一點，連接，.

（1）若，，求的長；

（2）如圖2，過作于，為上一點，，且.求證:.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）如圖（1），過A作AH⊥BC于H，解直角三角形即可得到結論；
（2）如圖（2），在AM上截取MN=MC，在△ACF內以AF為底邊作等腰直角三角形AFP，連接CP，根據平行線的性質函數三角形的內角和得到∠CAN=∠PAC，求得∠APC=∠FPC==135°=∠ANC，根據全等三角形的性質得到AP=AN，于是得到結論．

（1）解：過點作于

∵，

∴，

∴

（2）如圖（2），在AM上截取MN=MC，在△ACF內以AF為底邊作等腰直角三角形AFP，連接CP，

∵∠AFC+∠FAC+∠ACF=180°，∠B+∠FAC+∠BAF+∠CAN=180°，
∴∠AFC=∠B+∠CAN=45°+∠CAN，
∵∠FAC=∠FAP+∠PAC=45°+∠PAC，

∴∠FAC=∠AFC，
∴∠CAN=∠PAC，
∵∠APC=∠FPC==135°=∠ANC，
∴△APC≌△ANC（AAS），
∴AP=AN，
∵AM=AN+MN，
∴AM=AN+MN=AF+CD=AF+AB，
即AF+AB=AM．