Question

如圖，形如量角器的半圓O的直徑DE=12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=
30°，BC=12cm．半圓O以2cm/s的速度從左向右運動，在運動過程中，點D、E始終在直線BC上．設運動時間為t (s)，當t=0s時，半圓O在△ABC的左側，OC=8cm．

（1）當t為何值時，△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切？    
（2）當△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切時，如果半圓O與直徑DE圍成的區域與△ABC三邊圍成的區域有重疊部分，求重疊部分的面積．

Answer 1

（1）4；（2）9π．

如圖，設半圓與AB相切于點F，連接CF，則CF⊥AB，又∠ABC=30°，BC=12cm，所以，CF= BC=6cm，此時，圓心O與點C重合，半圓走了8cm，所以，t= =4（秒），又∠ACB=90°，所以，半圓面與△ABC重疊部分的面積：S_重合= πr²= ×36π=9π；