Question

【題目】如圖，C為線段AE上一點（不與點A、E重合），在AE同側分別作等邊△ABC和等邊△CDE，連接AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ、OC，以下四個結論：①△BOC≌△EDO；②DE＝DP；③∠AOC＝∠COE；④OC⊥PQ．其中正確的結論有（　　）

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】A

【解析】

證明△ACD與△BCE全等，可得∠CAD＝∠CBE，得出∠AOE＝120°，作CG⊥AD于G，CH⊥BE于H，證明△ACG≌△BCH（AAS），得出CG＝CH，證出OC平分∠AOE，∠AOC＝∠COE，③正確；證出∠BOC≠∠EDO，得出△BOC與△EDO不全等，①錯誤；證明△ACP≌△BCQ（ASA），得出AP＝BQ，PC＝QC，可推出DP＝EQ，再根據△DEQ的角度關系DE≠DP，可得②錯誤．證出PQ∥AE，推出OC與AE不垂直，得出OC與PQ不垂直，④錯誤；即可得出答案．

解：∵△ABC和△CDE是等邊三角形，

∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，

∴180°﹣∠ECD＝180°﹣∠ACB，

即∠ACD＝∠BCE，

在△ACD與△BCE中，，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，

∴∠AOB＝∠CAD+∠CEB＝∠CBE+∠CEB＝∠ACB＝60°，

∴∠AOE＝120°，

作CG⊥AD于G，CH⊥BE于H，如圖所示：

在△ACG和△BCH中，，

∴△ACG≌△BCH（AAS），

∴CG＝CH，

∴OC平分∠AOE，

∴∠AOC＝∠COE，③正確；

∵∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝120°，∠DOC＝∠DOQ+∠COE＝120°，

∴∠ODC+∠OCD＝60°，

∴∠ODC＜60°，

∴∠EDO＝∠CDE+∠ODC＜120°，

∴∠BOC≠∠EDO，

∴△BOC與△EDO不全等，①錯誤；

∵∠ACB＝∠ECD＝60°，

∴∠BCQ＝180°﹣60°×2＝60°，

∴∠ACB＝∠BCQ＝60°，

在△ACP與△BCQ中，，

∴△ACP≌△BCQ（ASA），

∴AP＝BQ，PC＝QC，

∵AD＝BE，

∴AD﹣AP＝BE﹣BQ，

∴DP＝QE，

∵∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，

∴∠DQE≠∠CDE，故②錯誤．

∵PC＝QC，∠PCQ＝60°，

∴△PCQ是等邊三角形，

∴∠CPQ＝60°，

∴∠ACB＝∠CPQ，

∴PQ∥AE，

∵∠AOC＝60°，

當OC⊥AE時，∠OAC＝30°，

則AP平分∠BAC，

而AP不是∠BAC的平分線，

∴OC與AE不垂直，

∴OC與PQ不垂直，④錯誤；

正確的結論有1個，

故選：A．