Question

【題目】已知點P為∠MAN邊AM上一動點，⊙P切AN于點C，與AM交于點D（點D在點P的右側），作DF⊥AN于F，交⊙O于點E．

（1）連接PE，求證：PC平分∠APE；

（2）若DE＝2EF，求∠A的度數；

（3）點B為射線AN上一點，且AB＝8，射線BD交⊙P于點Q，sin∠A＝．在P點運動過程中，是否存在某個位置，使得△DQE為等腰三角形？若存在，求出此時AP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠PAC＝30°；（3）存在，AP的長為6或或．

【解析】

（1）根據已知條件以及切線的性質可得PC//DF，再利用平行線的性質和等腰三角形的性質可以證得∠APC＝∠EPC，即可得證結論；

（2）添加輔助線PH⊥DE于H，根據已知條件可得DH＝HE＝EF＝HF＝PC＝PD，進一步可判定∠DPH＝30°，最后利用平行線的性質即可推導出∠A的度數；

（3）分①DQ＝QE②DE＝QE③DQ＝DE三種情況進行討論即可．

解：（1）證明：∵AN切⊙O于點C

∴PC⊥AN

∵DF⊥AN

∴PC//DF

∴∠APC＝∠PDE， ∠EPC＝∠PED

∵PD＝PE

∴∠PED＝∠PDE

∴∠APC＝∠EPC，即PC平分∠APE

（2）作PH⊥DE于H，如圖：

∵PD＝PE，DE＝2EF

∴DH＝HE＝EF＝HF＝PC＝PD

∴∠DPH＝30°

∵PH//AF

∴∠PAC＝∠DPH＝30°

（3）①當DQ＝QE時，如圖1

連接PQ，可證得PQ//AB

∴∠PDQ＝∠DQP＝∠DBA

∴AD＝AB＝8

∵設PC＝r，AP＝3r

∴AD＝4r

∴4r＝8

∴r＝2

∴AP＝3r＝6

②當DE＝QE時， 記⊙P與AD的另一交點為K，連接KE，如圖：

則∠QDE＝∠EQD＝∠DKE＝∠DAF

在Rt△ADF中，DF＝AD＝r

AF＝DF＝r

在Rt△DBF中，BF＝DF＝r

AB＝AF－BF＝r＝8

r＝，AP＝3r＝

③當DQ＝DE時，連接QK連接QE交AD于I，作QG⊥KE于點G，如圖：

則∠GQE＝∠IKE＝∠A

在Rt△QGE中，設GE＝2x，則QE＝3GE＝6x，IE＝3x

QG＝GE＝x

則KG＝KE－EG＝7x

tan∠QKG＝＝，

∵∠BDF＝∠QKE

∴ tan∠BDF＝ tan∠QKE，BF＝DF＝

AB＝AF＋BF＝＝8，

r＝，AP＝3r＝

故答案是：（1）證明見解析；（2）∠PAC＝30°；（3）存在，AP的長為6或或