Question

如圖所示，△ABC的外接圓圓心O在AB上，點D是BC延長線上一點，DM⊥AB于M，交AC于N，且AC=CD．CP是△CDN的邊ND上的中線．
（1）求證：AB=DN；
（2）試判斷CP與⊙O的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據圓周角定理得到∴∠ACB=90°，則∠NCD=90°，而DM⊥AB，根據等角的余角相等得到∠A=∠D，然后根據“ASA”判斷△ABC≌△DNC，則AB=DN；
（2）根據直角三角形斜邊上的中線性質得PC=PN=

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DN，則∠PCN=∠PNC，所以∠ANM=∠PCN，而∠A=∠ACO，于是得到∠ACO+∠PCN=90°，
即∠PCO=90°，然后根據切線的判定定理得到CP是⊙O的切線．

解答：（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，則∠NCD=90°，
∵DM⊥AB，
∴∠AMN=90°，
∴∠ABC+∠A=∠ABC+∠D=90°，
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DNC中

∠A=∠D AC=CD ∠ACB=∠NCD

，
∴△ABC≌△DNC（ASA），
∴AB=DN；
（2）CP是⊙O的切線．理由如下：
連結OC，如圖，
∵CP是△CDN的邊ND上的中線，∠NCD=90°，
∴PC=PN=

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DN，
∴∠PCN=∠PNC，
∵∠ANM=∠PNC，
∴∠ANM=∠PCN，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵∠A+∠ANM=90°，
∴∠ACO+∠PCN=90°，
∴∠PCO=90°，
∴OC⊥PC
∴CP是⊙O的切線．

點評：本題考查了切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查來了三角形全等的判定與性質．