Question

如圖，已知拋物線（b，c是常數，且c<0）與x軸分別交于點A，B（點A位于點B的左側），與y軸的負半軸交于點C，點A的坐標為(－1，0)．

（1）b＝　 　  ，點B的橫坐標為　 　  （上述結果均用含c的代數式表示）；

（2）連接BC，過點A作直線AE∥BC，與拋物線交于點E．點D是x軸上一點，其坐標為

(2，0)，當C，D，E三點在同一直線上時，求拋物線的解析式；

（3）在（2）的條件下，點P是x軸下方的拋物線上的一動點，連接PB，PC，設所得△PBC的面積為S．

    ①求S的取值范圍；

②若△PBC的面積S為整數，則這樣的△PBC共有　 　  個．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）；。

（2）在中，令x=0，得y=c，

∴點C的坐標為（c，0）。

設直線BC的解析式為，

∵點B的坐標為(－2 c，0)，∴。

∵，∴。

∴直線BC的解析式為。

∵AE∥BC，∴可設直線AE的解析式為。

∵點A的坐標為(－1，0)，∴，。

∴直線AE的解析式為。

由解得。

∴點E的坐標為。

∵點C的坐標為，點D的坐標為（2，0），∴直線CD的解析式為。

∵點C，D，E三點在同一直線上，∴。

∴，解得（舍去）。

∴。

∴拋物線的解析式為。

（3）①設點P的坐標為，

∵點A的坐標為(－1，0)，點B的坐標為(4，0)，點C的坐標為（0，－2），

∴AB=5，OC=2，直線CB的解析式為。

當時，，

∵，∴。

當時，過點P作PG⊥x軸于點G，交BC于點F，

∴點F的坐標為。

∴。

∴。

∴當x=2時，。∴ 。

綜上所述，S的取值范圍為。

②11。

【解析】

試題分析：（1）將點A的坐標為(－1，0)代入得。

∴。

令，解得。

∴點B的橫坐標為。

（2）求出直線BC的解析式，從而求出直線AE的解析式，得到點E的坐標為，由點C，D，E三點在同一直線上，將代入直線CD的解析式即可求出c，由（1）求出b，從而得到拋物線的解析式。

（3）①分和兩種情況討論。

②當時，，且S為整數，對應的x有4個；

當時，，，且S為整數，對應的x有7個（時只有1個）。

∴若△PBC的面積S為整數，則這樣的△PBC共有11個。