Question

如圖所示，在邊長為1的正方形ABCD中，一直角三角尺PQR的直角頂點P在對角線AC上移動，直角邊PQ經(jīng)過點D，另一直角邊與射線BC交于點E．
（1）試判斷PE與PD的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）連接PB，試證明：△PBE為等腰三角形；
（3）設(shè)AP=x，△PBE的面積為y，
①求出y關(guān)于x 函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)點P落在AC的何處時，△PBE的面積最大，此時最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）作輔助線：過點P作GF∥AB，分別交AD、BC于G、F，構(gòu)建全等三角形Rt△EFP≌Rt△PGD（ASA），然后由全等三角形的對應(yīng)邊相等證明PE=PD；
（2）由正方形的四條邊相等，對角線平分對角的性質(zhì)證明△APB≌△APD（SAS），然后由全等三角形的對應(yīng)邊相等證明PB=PD；利用（1）的結(jié)論，由等量代換證明PE=PB，即△PBE為等腰三角形；
（3）①利用△APB≌△APD的對應(yīng)邊相等知，BF=PG．在直角三角形AGP中，利用邊角關(guān)系求得BF=PG的值，所以PF=AB-GP；然后根據(jù)三角形的面積公式求得關(guān)于y與x的函數(shù)關(guān)系式；
②根據(jù)①的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-

1

2

x2+

2

2

x的頂點式函數(shù)關(guān)系式求最值．

解答：證：（1）過點P作GF∥AB，分別交AD、BC于G、F．如圖所示．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴四邊形ABFG和四邊形GFCD都是矩形，△AGP和△PFC都是等腰直角三角形，
∴GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90°；
又∵∠1+∠3=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2；
又PF=GD，∠PFE=∠PGD=90°，
∴Rt△EFP≌Rt△PGD（ASA），
∴PE=PD；

（2）∵AD=AB，∠PAB=∠PAD=45°，AP=AP，
∴△APB≌△APD（SAS），
∴PB=PD，
∴PE=PB，
∴△PBE為等腰三角形；

（3）①∵AP=x，
∴BF=PG=

2

2

x，PF=1-

2

2

x，
∴S△PBE=BF•PF=

2

2

x(1-

2

2

x)=-

1

2

x2+

2

2

x．
即y=-

1

2

x2+

2

2

x（0＜x＜

2

），
②y=-

1

2

x2+

2

2

x=-

1

2

( x-

2

2

)2+

1

4

．
∵a=-

1

2

＜0，
∴當(dāng)x=

2

2

時，y最大值=

1

4

．

點評：本題綜合考查了二次函數(shù)的最值、正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)．解答此題的關(guān)鍵是通過作輔助線：過點P作GF∥AB，分別交AD、BC于G、F，構(gòu)建全等三角形Rt△EFP≌Rt△PGD（ASA），另外在求二次函數(shù)的最值時，在初中階段一般情況下是將函數(shù)的一般解析式轉(zhuǎn)化為頂點式函數(shù)解析式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求其解析式．