Question

如圖，BC是半⊙O的直徑，點P是半圓弧的中點，點A是弧BP的中點，AD⊥BC于D，連結AB、PB、AC，BP分別與AD、AC相交于點E、F.
（1）BE與EF相等嗎？并說明理由；
（2）小李通過操作發現CF=2AB，請問小李的發現是否正確，若正確，請說明理由；若不正確，請寫出CF與AB正確的關系式.
（3）求的值.

Answer 1

（1）相等，理由見解析；（2）正確；（3）．

解析試題分析：（1）根據圓周角定理求出∠ABE=∠BAE，求出AE=BE，求出∠CAD=∠AFB，求出AE=EF，即可得出答案；
（2）根據全等三角形的性質和判定求出BG=CF，AB=AG，即可得出答案；
（3）求出，求出AH、CP的長，代入即可求出答案．
試題解析：（1）BE=EF，
理由是：∵BC是直徑，AD⊥BC，
∴∠BAC=∠ADC=90°，
∴∠BAD=∠ACB，
∵A為弧BP中點，
∴∠ABP=∠ACB，
∴∠BAD=∠ABP，
∴BE=AE，∠FAD=∠AFB，
∴EF=AE，
∴BE=EF；
（2）小李的發現是正確的，
理由是：延長BA、CP，兩線交于G，
∵P為半圓弧的中點，A是弧BP的中點，
∴∠PCF=∠GBP，∠CPF=∠BPG=90°，BP=PC，
在△PCF和△PBG中，

∴△PCF≌△PBG（ASA），
∴CF=BG，
∵BC為直徑，
∴∠BAC=°，
∵A為弧BP中點，
∴∠GCA=∠BCA，
在△BAC和△GAC中

∴△BAC≌△GAC（ASA），
∴AG=AB=BG，
∴CF=2AB；
（3）連接OA交BP于H，

∵A為弧BP的中點，
∴OA⊥BP，
∵∠BPC=90°，
∴OA∥CP，
∴△AHF∽△CPF，
∴，
設OA=r，BC=2r，
∵BP=CP，∠BPC=90°，
∴PC=r，
∴OH=，AH=，
∴=．
考點：1.相似三角形的判定與性質；2.全等三角形的判定與性質；3.圓周角定理．