Question

【題目】如圖1，在中，，點分別是邊的中點，連接．將繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為．

（1）問題發(fā)現(xiàn)

①當時，____________；②當時，___________．

（2）拓展探究試判斷：當時，的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明．

（3）問題解決

繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至三點在同一條直線上時，直接寫出線段的長．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）的大小不變，證明見解析；（3）BD=或

【解析】

（1）①根據(jù)中點的定義和勾股定理求出BD、AC和AE，從而求出結(jié)論；

②畫出圖形，求出BD和AE即可求出結(jié)論；

（2）利用相似三角形的判定定理證出△ECA∽△DCB，從而證出結(jié)論；

（3）根據(jù)點E落在AB的延長線上和點E落在AB上分類討論，分別畫出對應(yīng)的圖形，然后求出AE的長，最后根據(jù)（2）的結(jié)論即可求出結(jié)論．

解：（1）①當時，

∵在中，，點分別是邊的中點，

∴BD=CD=，AC==

∴AE=CE=

∴

故答案為：；

②當時，如下圖所示

AE=AC＋CE=，BD=BC＋CD=6

∴

故答案為：；

（2）當時，的大小不變，證明如下

∵

∴△ECA∽△DCB

（3）（i）當點E落在AB的延長線上時，如下圖所示

在Rt△BCE中，CE=，BC=4

BE=

∴AE=AB＋BE=10

∵

∴BD=；

（ii）當點E落在AB上時，如下圖所示

在Rt△BCE中，CE=，BC=4

BE=

∴AE=AB－BE=6

∵

∴BD=；

綜上：BD=或．