Question

已知正方形中，繞點沿順時針方向旋轉，它的
兩邊分別交（或它們的延長線）于點繞點旋轉到時（如圖28①）， 易證

（1）當繞點旋轉到時（如圖28②），線段之間有怎樣的數量關系？寫出猜想，并加以證明；
（2）當繞點旋轉到如圖28③所示的位置時，線段之間又有怎樣的數量關系？請直接寫出你的猜想.(9分)

Answer 1

（1）BM+DN=MN，證明見解析（2）DN-BM=MN，證明見解析

（1）BM+DN=MN成立．
證明：如圖，把△ADN繞點A順時針旋轉90°，
得到△ABE，則可證得E、B、M三點共線（圖形畫正確）．
∴∠EAM=90°-∠NAM=90°-45°=45°，
又∵∠NAM=45°，
∴△AEM≌△ANM，
∴ME=MN，
∵ME=BE+BM=DN+BM，
∴DN+BM=MN；
（2）DN-BM=MN．
在線段DN上截取DQ=BM，
易證△AMN≌△AQN，
故MN=QN，
所以DN-BM=MN．

（1）BM+DN=MN成立，證得B、E、M三點共線即可得到△AEM≌△ANM，從而證得ME=MN．
（2）DN-BM=MN．證明方法與（1）類似．