Question

【題目】如圖，直線y＝x和直線y＝﹣x+5相交于點M，直線PQ⊥x軸，分別交直線y＝﹣x+5和直線y＝x于點P、Q，點R是y軸上一點，若△PQR為等腰直角三角形．求點R的坐標．

Answer 1

【答案】點R的坐標是(0， )或(0，)或(0，)或(0，5)或(0，0)．

【解析】

首先求出PQ的長，分五種情況進行討論：①如圖1，當PR＝PQ時，△PQR為等腰直角三角形，根據PQ＝PR列方程求得；②如圖2，當RQ＝PQ時，△PQR為等腰直角三角形，根據PQ＝RQ列方程求得；③如圖3，當∠PRQ＝90°時，△PQR為等腰直角三角形，根據2RB＝PQ列方程求得；④⑤P在M的右側，同理可得R的坐標．

解：設直線PQ的解析式為：x＝h，

∴P(h，﹣h+5)、Q(h，h)，

∴PQ＝﹣h+5﹣h＝5﹣2h，

分三種情況：

①如圖1，過P作PR⊥y軸于R，連接RQ，

當PR＝PQ時，△PQR為等腰直角三角形，

∴h＝5﹣2h，

h＝，

∴﹣h+5＝﹣+5＝，

∴R(0，)；

②如圖2，過Q作QR⊥y軸于R，連接RP，

當RQ＝PQ時，△PQR為等腰直角三角形，

∴h＝5﹣2h，

h＝，

∴R(0，)；

③如圖3，作線段PQ的中垂線l，交y軸于R，交PQ于B，連接PR、RQ，則PR＝RQ，

當∠PRQ＝90°時，△PQR為等腰直角三角形，

∴∠PRB＝∠QRB＝45°，

∴△PBR和△BRQ都是等腰直角三角形，

∴2RB＝2BQ＝PQ，

則2h＝5﹣2h，

h＝，

∴OR＝+(5﹣2h)＝+﹣＝，

∴R(0，)；

④如圖4，P在交點M的右側時，QR＝QP，

則h＝h﹣(﹣h+5)，

h＝5，

∴R(0，5)，

如圖5，P在交點M的右側時，QP＝RP，

同理可得R(0，0)，此時R與原點重合，

綜上所述，若△PQR為等腰直角三角形．點R的坐標是(0，)或(0，)或(0，)或(0，5)或(0，0)．