Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．點P從A點出發沿A→C→B路徑運動到B點，點Q從B點出發沿B→C→A路徑運動到A點．點P和點Q分別以2cm/秒和3cm/秒的速度同時出發，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．在某時刻，分別過P和Q作PE⊥l于點E，QF⊥l于點F．設運動時間為t（秒）．

（1）當PC＝2QC時，求t的值.

（2）當△PEC與△QFC全等時，求t的值.

Answer 1

【答案】(1)或，PC=2CQ;(2)2或.

【解析】

(1)分類討論:①當點P在AC上,點Q在BC上時,②當點Q在AC上,點P在BC上時,③當P、Q都在AC上時,根據題意列出方程即可得出結論;

(2)根據題意化成三種情況,根據全等三角形的性質得出CP=CQ,代入得出關于t的方程,求出即可.

(1)①當點P在AC上,點Q在BC上時,

∵AC=6,AP=2t,BC=8,BQ=3t,

∴CP=6-2t,CQ=8-3t,

∵PC=2QC,

∴6-2t=2(8-3t),

解得:t=

②當點Q在AC上,點P在BC上時,不存在PC=2QC

③當P、Q都在AC上時,

∵PC=2QC,

∴6-2t=2(3t-8),

解得:t=

綜上所述: t=或;

(2)①如圖1,P在AC上,Q在BC上,

∵PE⊥l,QF⊥l,

∴∠PEC=∠QFC=90°,

∵∠ACB=90°,

∴∠EPC+∠PCE=90°,∠PCE+∠QCF=90°,

∴∠EPC=∠QCF,

則△PCE≌△CQF(AAS),

∴PC=CQ,即6-2t=8-3t,t=2;

②如圖,P在BC上,Q在AC上,

∵由①知:PC=CQ,

∴2t-6=3t-8,t=2;

2t-6＜0,不符合題意;

③當P、Q都在AC上時,如圖

CP=6－2t=3t－8,t=;

④當Q到A點停止,P在BC上時,AC=PC,2t-6=6時,解得t=6＞(不符合題意)

綜上所述:t的值為2s或s.