Question

【題目】如圖，已知在平面直角坐標系中，直線AB： 與x軸、y軸分別交于B、A兩點，等腰Rt△OCD，∠D＝90°，C坐標為（﹣4，0）．

（1）求A、B坐標；

（2）將△OCD沿x軸正方形平移，速度為1個單位為每秒，時間為t（0≤t≤6），設△OCD與△OAB重疊面積為S，請寫出S與t之間的函數關系式；

（3）將△OCD繞O點旋轉，當O、B、D三點構成的三角形為直角三角形時，請直接寫出D點坐標．

Answer 1

【答案】（1）， B（6，0）；（2）；（3）點D的坐標為 ， ， ， ．

【解析】

1）分別令x＝0，解得點A的坐標，令y＝0，解得點B的坐標．

（2）分情況討論，利用特殊角度求得線段之間存在的數量關系，再計算重疊部分面積．

（3）分情況討論，O為直角頂點，D為直角頂點，再利用等面積法求得線段長度．

解：（1）令x＝0，y＝2，

∴A（0，2），

令y＝0，即﹣x+2＝0，

解得x＝6，

∴B（6，0）．

（2）∵C（﹣4，0），

∴OC＝4，

∵△COD為等腰直角三角形，

∴CD＝OD，設CD為a，則OD為a，

在Rt△OCD中，根據勾股定理得，a2+a2＝42，

解得a＝2，

①當0≤t≤2時，

OO′＝t，OM＝t，

S＝OO′OM＝t2．

②2＜t≤4時，

OO′＝t，∴OC′＝4﹣t，

∴OM＝4﹣t，

S＝×（2）2﹣OC′OM＝4﹣（4﹣t）2＝﹣t2+4t﹣4．

③當4＜t≤8﹣2時，

S＝×（2）2＝4．

④8﹣2＜t≤6時，

OO′＝t，

∴BO′＝6﹣t，

過M作MN垂直x軸，垂足為N，

設MN＝NO′＝x，

則BN＝x，

∴x﹣x＝6﹣t，

解得x＝，

BC′＝10﹣t，過點Q作x軸得垂線，垂足為P，

設PQ＝PC′＝y，則BP＝y，

∴y+y＝10﹣t，

解得y＝，

∴S＝BC′PQ﹣BO′MN＝﹣t2+8t﹣2t+16﹣34．

綜上：

（3）①如圖所示，

此時D（0，2）．

②如圖所示，

此時D（0，﹣2）．

③如圖所示，

此時∠BDO＝90°，OD＝2，OB＝6，

∴DB＝2，

過D作DE垂直于x軸，垂足為點E，

ODDB＝OBDE，

解得DE＝，

∴OE＝，

∴D（，）．

④如圖所示，

此時的點D與③中的點D關于x軸對稱，

∴D．

綜上，點D的坐標為 ， ， ， ．