Question

【題目】如圖，是將拋物線y=-x2 平移后得到的拋物線，其對稱軸為x=1，與x軸的一個交點為A(-1,0) ，另一交點為B，與y軸交點為C．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）若點N 為拋物線上一點，且BC⊥NC，求點N的坐標；

（3）點P是拋物線上一點，點Q是一次函數y=x+的圖象上一點，若四邊形OAPQ為平行四邊形，這樣的點P、Q是否存在？若存在，分別求出點P、Q的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）（1，4）; （3）P、Q的坐標是(0,3)(1,3) 或,．

【解析】試題分析：

（1）由題意可設該拋物線的解析式為，代入點（-1，0）求出k的值即可得到所求解析式；

（2）由（1）中所得拋物線的解析式可求得點B、C的坐標，從而可求出直線BC的解析式，由直線NC⊥BC且過點C可求得NC的解析式，把NC的解析式和拋物線的解析式聯立得到方程組，解方程組即可求得點N的坐標；

（3）如下圖，由題意易得PQ=OA=1，且PQ∥OA，設點P的橫坐標為t，則可用含“t”的式子表達出Q的坐標，再把Q的坐標代入函數y=x+ 中，即可解得“t”的值，從而可求得P、Q的坐標.

試題解析：

（1）設拋物線的解析式是y=-（x-1）2+4．把 (-1，0)代入得 0=-（1-1）2+k，

解得，k=4

則拋物線的解析式是 y=-（x-1）2+4，

即y=-x2+2x+3；

（2）設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），代入點B、C的坐標得：

解得： ，

∴直線BC的解析式為：y=-x+3，

∵BC⊥NC，

∴可設直線CN的解析式為y=x+m.

∵C（0，3）在直線CN上，

∴0+m=3，解得：m=3，即直線CN的解析式為 y=x+3,

由： ，即 x+3=-x2+2x+3=-x2+2x+3，解得：x1=0，x2=1，

∴N的坐標是（1，4）,

（3）∵四邊形OAPQ是平行四邊形，則PQ=OA=1，且PQ∥OA，

設P(t,-t2+2t+3)，則Q(t+1, -t2+2t+3) ，將P、Q的坐標代入，

得-t2+2t+3=，

整理，得2t2-t=0, ，

解得t=0 或 ．

∴-t2+2t+3 的值為3或．

∴P、Q的坐標是(0,3)(1,3) 或,.