Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點P從點A出發沿邊AC向點C以每秒1個單位長度的速度運動，同時點Q從點C出發沿邊CB向點B以每秒a個單位長度的速度運動，過點P作PD⊥BC，交AB于點D，連接PQ．當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為t秒（t≥0）．

（1）當a=2時，解答下列問題：

①QB=　 　，PD=　 　．（用含t的代數式分別表示）

②通過計算說明，不存在t的值使得四邊形PDBQ為菱形．

（2）當a為某個數值時，四邊形PDBQ在某一時刻為菱形，求a的值及四邊形PDBQ為菱形時t的值．

（3）當t=2時，在整個運動過程中，恰好存在線段PQ的中點M到△ABC三邊距離相等，直接寫出此刻a的值．

Answer 1

【答案】（1）①8﹣2t，t，②不存在，理由見解析；

（2）經過秒，四邊形PDBQ是菱形．

（3）滿足條件的a的值為2．

【解析】試題分析：（1）①根據題意得：CQ=2t，PA=t，由Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD∥BC，即可得tanA===，則可求得QB與PD的值；

②易得△APD∽△ACB，即可求得AD與BD的長，由BQ∥DP，可得當BQ=DP時，四邊形PDBQ是平行四邊形，即可求得此時DP與BD的長，由DP≠BD，可判定PDBQ不能為菱形；

（2）設點Q的速度為每秒v個單位長度，由要使四邊形PDBQ為菱形，則PD=BD=BQ，列方程即可求得答案；

（3）由題意AP=2，PC=4，CQ=2a，又QM=PM，點M到△ABC是三邊距離相等，推出CM是∠PCQ的平分線，推出PC=CQ，可得2a=4，推出a=2，經檢驗，此時點M是△ABC的內心，由此即可解決問題；

試題解析：（1）①根據題意得：CQ=2t，PA=t，

∴QB=8﹣2t，

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD∥BC，

∴∠APD=90°，

∴tanA===，

∴PD=t．

故答案為：（1）8﹣2t，t．

②不存在

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，

∴AB=10

∵PD∥BC，

∴△APD∽△ACB，

∴=，即=，

∴AD=t，

∴BD=AB﹣AD=10﹣t，

∵BQ∥DP，

∴當BQ=DP時，四邊形PDBQ是平行四邊形，

即8﹣2t=，解得：t=．

當t=時，PD=×=，BD=10﹣×=6，

∴DP≠BD，

∴PDBQ不能為菱形．

（2）設點Q的速度為每秒v個單位長度，

則BQ=8﹣vt，PD=t，BD=10﹣t，

要使四邊形PDBQ為菱形，則PD=BD=BQ，

當PD=BD時，即t=10﹣t，解得：t=，

當PD=BQ，t=時，即×=8﹣v，解得：v=；

當點Q的速度為每秒個單位長度時，經過秒，四邊形PDBQ是菱形．

（3）由題意AP=2，PC=4，CQ=2a，

∵QM=PM，點M到△ABC是三邊距離相等，

∴CM是∠PCQ的平分線，

∴PC=CQ，

∴2a=4，

∴a=2，經檢驗，此時點M是△ABC的內心，

∴滿足條件的a的值為2．