Question

【題目】如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC=90°，弦BD=BA，AC=13，BC=5，BE⊥DC交DC的延長線于點E．

（1）求證：CB是∠ECA的角平分線；

（2）求DE的長；

（3）求證：BE是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．（3）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）根據BD=BA得出∠BDA=∠BAD，再由∠BCA=∠BDA即可得出結論；

（2）判斷△BED∽△CBA，利用對應邊成比例的性質可求出DE的長度．

（3）連接OB，OD，證明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，繼而判斷BE⊥OB，可得出結論．

試題解析：（1）∵BD=BA，

∴∠BDA=∠BAD，

∵∠BCA=∠BDA，

∴∠BCA=∠BAD．

∴CB是∠ECA的角平分線；

（2）∵∠BDE=∠CAB且∠BED=∠CBA=90°，

∴△BED∽△CBA，

∴，

由勾股定理易求AB=12．

即，

解得：DE=．

（3）連結OB，OD，

在△ABO和△DBO中，

，

∴△ABO≌△DBO（SSS），

∴∠DBO=∠ABO，

∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，

∴∠DBO=∠BDC，

∴OB∥ED，

∵BE⊥ED，

∴EB⊥BO，

∴BE是⊙O的切線．