Question

【題目】（1）操作思考：如圖1，在平面直角坐標系中，等腰直角的直角頂點在原點，將其繞著點旋轉，若頂點恰好落在點處．則①的長為______；②點的坐標為______（直接寫結果）

（2）感悟應用：如圖2，在平面直角坐標系中，將等腰直角如圖放置，直角頂點，點，試求直線的函數表達式．

（3）拓展研究：如圖3，在直角坐標系中，點，過點作軸，垂足為點，作軸，垂足為點是線段上的一個動點，點是直線上一動點．問是否存在以點為直角頂點的等腰直角，若存在，請直接寫出此時點的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據勾股定理可得OA長，由對應邊相等可得B點坐標；

（2）通過證明得出點B坐標，用待定系數法求直線的函數表達式；

（3）設點Q坐標為，可通過證三角形全等的性質可得a的值，由Q點坐標可間接求出P點坐標.

解：（1）如圖1，作軸于F，軸于E.

由A點坐標可知

在中，根據勾股定理可得；

為等腰直角三角形

軸于F，軸于E

又

所以B點坐標為：

（2）如圖，過點作軸．

為等腰直角三角形

軸

又

∴，

∴，

∴．

設直線的表達式為

將和代入，得

，

解得，

∴直線的函數表達式．

（3）如圖3，分兩種情況，點Q可在x軸下方和點Q在x軸上方

設點Q坐標為，點P坐標為

當點Q在x軸下方時，連接，過點作 交其延長線于M，則M點坐標為

為等腰直角三角形

又

由題意得

，

解得 ，所以

當點Q在x軸上方時，連接，過點作 交其延長線于N，則N點坐標為

同理可得,

由題意得

，

解得 ，所以

綜上的坐標為：．