Question

【題目】如圖，已知 MN∥PQ，B 在 MN 上，C 在 PQ 上，A 在 B 的左側，D 在 C 的右側，DE 平分∠ADC，BE平分∠ABC，直線 DE，BE 交于點 E，∠CBN=120°．

（1）若∠ADQ=110°，求∠BED 的度數；

（2）將線段 AD 沿 DC 方向平移，使得點 D 在點 C 的左側，其他條件不變，若∠ADQ=n°，求∠BED 的度數（用含 n 的代數式表示）

Answer 1

【答案】（1）65°；（2）∠BED=210°﹣（n）°或（n）°﹣30°或 30°﹣（n）°．

【解析】（1）如圖1中，延長DE交MN于H．利用∠BED=∠EHB+∠EBH，即可解決問題；
（2）分三種情形討論即可解決問題．

（1）如圖 1 中，延長 DE 交 MN 于 H．

∵∠ADQ=110°，ED 平分∠ADP，

∴∠PDH=∠PDA=35°，

∵PQ∥MN，

∴∠EHB=∠PDH=35°，

∵∠CBN=120°，EB 平分∠ABC，

∴∠EBH=∠ABC=30°，

∴∠BED=∠EHB+∠EBH=65°．

（2）有 3 種情形，如圖 2 中，當點 E 在直線 MN 與直線 PQ 之間時．延長 DE 交 MN 于 H．

∵PQ∥MN，

∴∠QDH=∠DHA=n°，

∴∠BED=∠EHB+∠EBH=180°﹣（n）°+30°=210°﹣（n）°，

當點 E 在直線 MN 的下方時，如圖 3 中，

設 DE 交 MN 于 H．

∵∠PBC=∠ABP=30°，

∴∠HBE=∠ABP=30°（對頂角）.

∵∠ADH=∠CDH=（n）°，

∴∠CDH=∠DHB=（n）°(兩直線平行，內錯角相等).

又∵∠DHB=∠HBE+∠HEB，

∴∠BED=（n）°﹣30°，

當點 E 在 PQ 上方時，如圖 4 中，

設 PQ 交 BE 于 H．同法可得∠BED=30°﹣（n）°．

綜上所述，∠BED=210°﹣（n）°或（n）°﹣30°或 30°﹣（n）°．