Question

如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，過點D作DE⊥BC，垂足為E，并延長DE至F，使EF＝DE．連接BF、AC．

（1）求證：四邊形ABFC是平行四邊形；
（2）如果DE²＝BE·CE，求證四邊形ABFC是矩形．

Answer 1

(1)證明見解析；（2）證明見解析.

試題分析：（1）連接BD，利用等腰梯形的性質得到AC=BD，再根據垂直平分線的性質得到DB=FB，從而得到AC=BF，然后證得AC∥BF，利用一組對邊平行且相等判定平行四邊形；
（2）利用題目提供的等積式和兩直角相等可以證得兩直角三角形相似，得到對應角相等，從而得到直角來證明有一個角是直角的平行四邊形是矩形．
試題解析:（1）連接BD

∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD
∴AC=BD
∵DE⊥BC，EF=DE
∴BD=BF，CD=CF
∴AC=BF，AB=CF
∴四邊形ABCF是平行四邊形；
（2）∵DE²=BE•CE
∴，
∵∠DEB=∠DEC=90°，
∴△BDE∽△DEC，
∴∠CDE=∠DBE，
∴∠BFC=∠BDC=∠BDE+∠CDE=∠BDE+∠DBE=90°，
∴四邊形ABFC是矩形．
考點: 1.等腰梯形的性質；2.全等三角形的判定與性質；3.平行四邊形的判定與性質；4.相似三角形的判定與性質．