Question

有一邊長為2的正方形紙片ABCD，先將正方形ABCD對折，設折痕為EF（如圖（1））；再沿過點D的折痕將角A翻折，使得點A落在EF的H上（如圖（2）），折痕交AE于點G．
（1）求∠ADG的度數；
（2）求EG的長．

Answer 1

解：（1）∵FD===，∠AFD=90°，
∴sin∠FHD==，
∴∠FHD=∠ADH=30°，
∵∠ADG=∠HDG，
∴∠ADG=15°．

（2）∵正方形紙片ABCD的邊長為2，
∴將正方形ABCD對折后AE=DF=1，
∵△GDH是△GDA沿直線DG翻折而成，
∴AD=DH=2，AG=GH，
在Rt△DFH中，
HF===，
∴EH=2-，
在Rt△EGH中，設EG=x，則GH=AG=1-x，
∴GH²=EH²+EG²，
即（1-x）²=（2-）²+x²，
解得x=2-3．
即EG的長為2-3．
分析：（1）利用正方形的性質和正弦的概念求解．
（2）由于正方形紙片ABCD的邊長為2，所以將正方形ABCD對折后AF=DF=1，由翻折不變性的原則可知AD=DH=2，AG=GH，在Rt△DFH中利用勾股定理可求出HF的長，進而求出EH的長，再設EG=x，在Rt△EGH中，利用勾股定理即可求解．
點評：本題考查的是圖形翻折變換的性質，解答此類題目是最常用的方法是設所求線段的長為x，再根據勾股定理列方程求解．