Question

【題目】如圖①，為美化校園環境，某校計劃在一塊長為60米，寬為40米的長方形空地上，修建一個長方形花圃，并將花圃四周余下的空地修建成同樣寬的甬道，設甬道的寬為a米．

①②

(1)用含a的式子表示花圃的面積；

(2)如果甬道所占面積是整個長方形空地面積的，求此時甬道的寬；

(3)已知某園林公司修建甬道、花圃的造價y1(元)、y2(元)與修建面積x(平方米)之間的函數關系如圖②所示．如果學校決定由該公司承建此項目，并要求修建的甬道寬不少于2米且不超過10米，那么甬道的寬為多少米時，修建的甬道和花圃的總造價最低？最低總造價為多少元？

Answer 1

【答案】（1）(4a2－200a＋2 400)平方米；（2）5米；（3）甬道的寬為2米時，修建的甬道和花圃的總造價最低，最低總造價為105 920元．

【解析】試題分析：（1）用含a的式子先表示出花圃的長和寬后利用其矩形面積公式列出式子即可；

（2）根據通道所占面積是整個長方形空地面積的，列出方程進行計算即可；

（3）根據圖象，設出通道和花圃的解析式，用待定系數法求解，再根據修建的通道和花圃的總造價為105920元列出關于a的方程，通過解方程求得a的值．

試題解析：（1）由圖可知，花圃的面積為（40﹣2a）（60﹣2a）=4a2﹣200a+2400．

（2）當通道所占面積是整個長方形空地面積的，即花圃所占面積是整個長方形空地面積的，則4a2﹣200a+2400=60×40×，

解方程得：a1=5，a2=45（不符合題意，舍去）

即此時通道寬為5米；

（3）當a=10時，花圃面積為（60﹣2×10）×（40﹣2×10）=800（平方米）

即此時花圃面積最少為800（平方米）．

根據圖象可設y1=mx，y2=kx+b，

將點（1200，48000），（800，48000），（1200，62000）代入，則有

1200m=48000，解得：m=40

∴y1=40x且有，

解得： ，

∴y2=35x+20000．

∵花圃面積為：（40﹣2a）（60﹣2a）=4a2﹣200a+2400，

∴通道面積為：2400﹣（4a2﹣200a+2400）=﹣4a2+200a

∴35（4a2﹣200a+2400）+20000+40（﹣4a2+200a）=105920

解得a1=2，a2=48（舍去）．

答：通道寬為2米時，修建的通道和花圃的總造價為105920元．