Question

如圖，△ABC的頂點坐標分別為A（-6，0），B（4，0），C（0，8），把△ABC沿直線BC翻折，點A的對應點為D，拋物線y=ax²-10ax+c經過點C，頂點M在直線BC上．
（1）證明四邊形ABCD是菱形，并求點D的坐標；
（2）求拋物線的對稱軸和函數表達式；
（3）在拋物線上是否存在點P，使得△PBD與△PCD的面積相等？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據兩點之間的距離公式，勾股定理，翻折的性質可得AB=BD=CD=AC，根據菱形的判定和性質可得點D的坐標；
（2）根據對稱軸公式可得拋物線的對稱軸，設M的坐標為（5，n），直線BC的解析式為y=kx+b，根據待定系數法可求M的坐標，再根據待定系數法求出拋物線的函數表達式；
（3）分點P在CD的上面和點P在CD的下面兩種情況，根據等底等高的三角形面積相等可求點P的坐標．
解答：（1）證明：∵A（-6，0），B（4，0），C（0，8），
∴AB=6+4=10，AC==10，
∴AB=AC，
由翻折可得，AB=BD，AC=CD，
∴AB=BD=CD=AC，
∴四邊形ABCD是菱形，
∴CD∥AB，
∵C（0，8），
∴點D的坐標是（10，8）；

（2）∵y=ax²-10ax+c，
∴對稱軸為直線x=-=5．
設M的坐標為（5，n），直線BC的解析式為y=kx+b，
∴，
解得．
∴y=-2x+8．
∵點M在直線y=-2x+8上，
∴n=-2×5+8=-2．
又∵拋物線y=ax²-10ax+c經過點C和M，
∴，
解得．
∴拋物線的函數表達式為y=x²-4x+8；

（3）存在．
△PBD與△PCD的面積相等，點P的坐標為P₁（，），P₂（-5，38）．
點評：考查了二次函數綜合題，涉及的知識點有：兩點之間的距離公式，勾股定理，翻折的性質，菱形的判定和性質，對稱軸公式，待定系數法的運用，等底等高的三角形面積相等，分類思想的運用．