Question

【題目】如圖，已知△ABC的面積為3，且AB=AC，現將△ABC沿CA方向平移CA長度得到△EFA．

（1）求四邊形CEFB的面積；

（2）試判斷AF與BE的位置關系，并說明理由；

（3）若∠BEC=15°，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）9；（2）BE⊥AF，理由詳見解析；（3） ；

【解析】

（1）根據題意可得△ABC≌△EFA，BA∥EF，且BA=EF，根據一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形即可判定四邊形AFBC為平行四邊形，所以S△EFA=S△BAF=S△ABC=3，即可求得四邊形EFBC的面積為9；（2））BE⊥AF，證明四邊形EFBA為菱形，根據菱形的性質即可證得結論；（3）如上圖，作BD⊥AC于D，已知∠BEC=15°，AE=AB，根據等腰三角形的性質可得∠EBA=∠BEC=15°，由三角形外角的性質可得∠BAC=2∠BEC=30°，在Rt△BAD中，AB=2BD，設BD=x，則AC=AB=2x，根據三角形的面積公式S△ABC=ACBD列出方程，解方程求得x的值，即可求得AC的長.

（1）由平移的性質得，

AF∥BC，且AF=BC，△EFA≌△ABC，

∴四邊形AFBC為平行四邊形，

S△EFA=S△BAF=S△ABC=3，

∴四邊形EFBC的面積為9；

（2）BE⊥AF，

由（1）知四邊形AFBC為平行四邊形，

∴BF∥AC，且BF=AC，

又∵AE=CA，

∴四邊形EFBA為平行四邊形，

又∵AB=AC，

∴AB=AE，

∴平行四邊形EFBA為菱形，

∴BE⊥AF；

（3）如上圖，作BD⊥AC于D，

∵∠BEC=15°，AE=AB，

∴∠EBA=∠BEC=15°，

∴∠BAC=2∠BEC=30°，

∴在Rt△BAD中，AB=2BD，

設BD=x，則AC=AB=2x，

∵S△ABC=3，且S△ABC=ACBD=2xx=x2，

∴x2=3，

∵x為正數，

∴x=，

∴AC=2．