Question

【題目】已知：如圖，四邊形ABCD四條邊上的中點分別為E、F、G、H，順次連接EF、FG、GH、HE，得到四邊形EFGH（即四邊形ABCD的中點四邊形）．

（1）四邊形EFGH的形狀是_________，證明你的結論；

（2）當四邊形 ABCD的對角線滿足_________條件時，四邊形 EFGH是矩形；你學過的哪種特殊四邊形的中點四邊形是矩形？ ________

（3）當四邊形 ABCD的對角線滿足_________條件時，四邊形 EFGH是菱形；你學過

的哪種特殊四邊形的中點四邊形是菱形？ _________．

Answer 1

【答案】(1) 平行四邊形;證明見解析;(2) AC⊥BD, 菱形;(3) AC=BD, 矩形

【解析】試題分析：（1）連接BD，根據三角形的中位線定理得到EH∥BD，EH= BD，FG∥BD，FG═BD，推出，EH∥FG，EH=FG，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形EFGH是平行四邊形；
（2）根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形，可知當四邊形ABCD的對角線滿足AC⊥BD的條件時，四邊形EFGH是矩形；菱形的中點四邊形是矩形．根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EH∥BD，EF∥AC，再根據矩形的每一個角都是直角可得∠1=90°，然后根據平行線的性質求出∠3=90°，再根據垂直定義解答；
（3）添加的條件應為：AC=BD，把AC=BD作為已知條件，根據三角形的中位線定理可得，HG平行且等于AC的一半，EF平行且等于AC的一半，根據等量代換和平行于同一條直線的兩直線平行，得到HG和EF平行且相等，所以EFGH為平行四邊形，又EH等于BD的一半且AC=BD，所以得到所證四邊形的鄰邊EH與HG相等，所以四邊形EFGH為菱形．根據三角形的中位線定理和矩形的性質得出EF=FG=GH=EH即可得出結論；

試題解析：

（1）四邊形EFGH的形狀是平行四邊形．理由如下：

連結BD，如圖所示：

∵E、H分別是AB、AD中點，
∴EH∥BD，EH=BD，
同理FG∥BD，FG=BD，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）當四邊形ABCD的對角線滿足互相垂直的條件時，四邊形EFGH是矩形．理由如下：

連結AC、BD，如圖所示：

∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點，
∴EH∥BD，HG∥AC，
∵AC⊥BD，
∴EH⊥HG，
又∵四邊形EFGH是平行四邊形，
∴平行四邊形EFGH是矩形；

菱形的中點四邊形是矩形．理由如下：

連結AC、BD，如圖所示：

∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點，
∴EH∥BD，HG∥AC，FG∥BD，EH=BD，FG=

BD，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵EH∥BD，HG∥AC，
∴EH⊥HG，
∴平行四邊形EFGH是矩形；

（3）添加的條件應為：AC=BD．
證明：∵E，F，G，H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，
∴在△ADC中，HG為△ADC的中位線，所以HG∥AC且HG=AC；同理EF∥AC且EF=AC，同理可得EH=BD，
則HG∥EF且HG=EF，
∴四邊形EFGH為平行四邊形，又AC=BD，所以EF=EH，
∴四邊形EFGH為菱形．

矩形的中點四邊形是菱形．理由如下：

連結AC、BD，如圖所示：

∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點，
∴EH=BD，FG=BD，EF=AC，GH=AC，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，∴EF=FG=GH=EH，
∴四邊形EFGH是菱形．