Question

【題目】如圖1，拋物線y＝ax2﹣x+c交x軸于A，B兩點，交y軸于點C．直線y＝﹣x+3經過點B，C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點P為直線BC下方的拋物線上一動點（不與點B，C重合），則△PBC的面積能夠等于△BOC的面積嗎？若能，求出相應的點P的坐標；若不能，請說明理由；

（3）如圖2，現把△BOC平移至如圖所示的位置，此時三角形水平方向一邊的兩個端點點O′與點B′都在拋物線上，稱點O′和點B′為△BOC在拋物線上的一“卡點對”；如果把△BOC旋轉一定角度，使得其余邊位于水平方向然后平移，能夠得到這個三角形在拋物線上新的“卡點對”．請直接寫出△BOC在已知拋物線上所有“卡點對”的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）即當（2，﹣）時，兩個三角形面積相同；（3）故拋物線上所有“卡點對”的坐標（， ）和（，）、（1，0）和（4，0）、（0，3）和（5，3）．

【解析】

（1）分別把x=0，y=0代入一次函數表達式得：點C、B的坐標分別為（0，3）、（4，0），同理將點B、C的坐標代入二次函數表達式即可求解；
（2）直線y=-x和直線BC平行，直線y=-x和拋物線的交點就是滿足條件的點P，即可求解；
（3）分O′B′在水平位置時、O′C′在水平位置時、B′C′在水平位置時，三種情況分別求解即可．

解：（1）分別把x＝0，y＝0代入一次函數表達式得：

點C、B的坐標分別為（0，3）、（4，0），

將點B、C的坐標代入二次函數表達式得：

，

解得：，

故拋物線的表達式為：y＝x2﹣x+3；

（2）直線y＝﹣x和直線BC平行，

直線y＝﹣x和拋物線的交點就是滿足條件的點P，

則，

解得：，

即當（2，﹣）時，兩個三角形面積相同；

（3）拋物線的對稱軸為：x＝，

①當O′B′在水平位置時，如圖2所示，

O′B′＝4，則點B′和O′的橫坐標分別為、，

將橫坐標代入二次函數表達式得：y＝，

故此時的“卡點對”坐標為（，）和（，）；

②當O′C′在水平位置時，

O′C′＝3，則點B′和O′的橫坐標分別為4、1，

將橫坐標代入二次函數表達式得：y＝0，

故此時的“卡點對”坐標為（1，0）和（4，0）；

③當B′C′在水平位置時，

同理可得：此時的“卡點對”坐標為（0，3）和（5，3）；

故拋物線上所有“卡點對”的坐標（，）和（，）、（1，0）和（4，0）、（0，3）和（5，3）．