Question

（2012•丹東）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，點E、F分別在邊AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于點O．下列結論：①∠DOC=90°，②OC=OE，③tan∠OCD=

4

3

，④S_△ODC=S_{四邊形BEOF}中，正確的有（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：由正方形ABCD的邊長為4，AE=BF=1，利用SAS易證得△EBC≌△FCD，然后全等三角形的對應角相等，易證得①∠DOC=90°正確；②由線段垂直平分線的性質與正方形的性質，可得②錯誤；易證得∠OCD=∠DFC，即可求得③正確；由①易證得④正確．

解答：解：∵正方形ABCD的邊長為4，
∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°，
∵AE=BF=1，
∴BE=CF=4-1=3，
在△EBC和△FCD中，
∵

BC=CD ∠B=∠DCF BE=CF

，
∴△EBC≌△FCD（SAS），
∴∠CFD=∠BEC，
∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°，
∴∠DOC=90°；
故①正確；
若OC=OE，
∵DF⊥EC，
∴CD=DE，
∵CD=AD＜DE（矛盾），
故②錯誤；
∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，
∴∠OCD=∠DFC，
∴tan∠OCD=tan∠DFC=

DC

FC

=

4

3

，
故③正確；
∵△EBC≌△FCD，
∴S_△EBC=S_△FCD，
∴S_△EBC-S_△FOC=S_△FCD-S_△FOC，
即S_△ODC=S_{四邊形BEOF}．
故④正確．
故選C．

點評：此題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、直角三角形的性質以及三角函數等知識．此題綜合性較強，難度適中，注意掌握數形結合思想與轉化思想的應用．