Question

【題目】如圖，點A、B分別在x軸和y軸的正半軸上，以線段AB為邊在第一象限作等邊△ABC，，且CA∥y軸．

（1）若點C在反比例函數的圖象上，求該反比例函數的解析式；

（2）在（1）中的反比例函數圖象上是否存在點N，使四邊形ABCN是菱形，若存在請求出點N坐標，若不存在，請說明理由．

（3）點P在第一象限的反比例函數圖象上，當四邊形OAPB的面積最小時，求出P點坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）存在，N（2，1）；（3）P（，）．

【解析】

（1）如圖1中，作CD⊥y軸于D．首先證明四邊形OACD是矩形，利用反比例函數k的幾何意義解決問題即可．

（2）如圖2中，作BD⊥AC于D，交反比例函數圖象于N，連接CN，AN．求出的坐標，證明四邊形ABCN是菱形即可．

（3）如圖3中，連接PB，PA，OP．設P（a，）．可得S四邊形OAPB＝S△POB+S△POA＝ ×1×a+××＝a+＝由此即可解決問題．

解：（1）如圖1中，作CD⊥y軸于D．

∵CA∥y軸，CD⊥y軸，

∴CD∥OA，AC∥OD，

∴四邊形OACD是平行四邊形，

∵∠AOD＝90°，

∴四邊形OACD是矩形，

∴k＝S矩形OACD＝2S△ABC＝，

∴反比例函數的解析式為y＝．

（2）如圖2中，作BD⊥AC于D，交反比例函數圖象于N，連接CN，AN．

∵△ABC是等邊三角形，面積為，設CD＝AD＝m，則BD＝m，

∴×2m×m＝，

∴m＝1或﹣1（舍棄），

∴B（0，1），C（，2），A（，0），

∴N（2，1），

∴BD＝DN，

∵AC⊥BN，

∴CB＝CN，AB＝AN，

∵AB＝BC，

∴AB＝BC＝CN＝AN，

∴四邊形ABCN是菱形，

∴N（2，1）．

（3）如圖3中，連接PB，PA，OP．設P（a，）．

S四邊形OAPB＝S△POB+S△POA＝×1×a+××＝a+＝

∴當a＝時，四邊形OAPB的面積最小，

解得a＝或（舍棄），

此時P（，）．