Question

【題目】求方程3x＋5y＝31的整數解。

Answer 1

【答案】

【解析】方法一：利用歐拉分離法，由原方程，得 x＝，即 x＝10－2y＋，要使方程有整數解必須為整數．

取y＝2，得x＝10－2y＋＝10－4＋1＝7，故x＝7，y＝2

當y＝5，得x＝10－2y＋＝10－10＋2＝2，故x＝2，y＝5

當y＝8，得x＝10－2y＋＝10－16＋3無解

所以方程的解為：

方法二：利用余數的性質

3x是3的倍數，和31除以3余1，所以5y除以3余1（2y除以3余1），根據這個情況用余數的和與乘積性質進行判定為：

取y＝1，2y＝2，2÷3＝0……2（舍）

y＝2，2y＝4，4÷3＝1……1（符合題意）

y＝3，2y＝6，6÷3＝2（舍）

y＝4，2y＝8，8÷3＝2……2（舍）

y＝5，2y＝10，10÷3＝3……1（符合題意）

y＝6，2y＝12，12÷3＝4（舍）

當y＞6時，結果超過31，不符合題意。

所以方程的解為：