Question

【題目】一個兩位數被它的各位數字之和去除，問余數最大是多少?

Answer 1

【答案】15

【解析】設這個兩位數為=lOa+b，它們的數字和為a+b,因為lOa+b=(a+b)+9a，所以lOa+b≡9a(mod a+b)，

設最大的余數為k，有9a≡k(mod a+b)．

特殊的當a+b為18時，有9a=k+18m，因為9a、18m均是9的倍數，那么k也應是9的倍數且小于除數18，即0，9，也就是說余數最大為9；

所以當除數a+b不為18，即最大為17時，

第一種情況：余數最大為16，除數a+b只能是17，此時有9a=15+17m，有 (t為可取0的自然數)，而a是一位數，顯然不滿足；

第二種情況：余數其次為15，除數a+b只能是17或16，

除數a+b=17時，有9a=15+17m,有,(t為可取0的自然數)，a是一位數，顯然也不滿足；

除數a+b=16時，有9a=15+16m,有(t為可取0的自然數)，因為a是一位數，所以a只能取7，對應b為16-7=9，滿足；

所以最大的余數為15，此時有兩位數79÷(7+9)=4……15．