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2．不相等的向量是否一定不平行？(不一定)

1．平行向量是否一定方向相同？(不一定)

例1 判斷下列命題是否正確，若不正確，請簡述理由.　

①向量與是共線向量，則A、B、C、D四點必在一直線上；　

②單位向量都相等；　

③任一向量與它的相反向量不相等；　

④四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件是＝

⑤模為0是一個向量方向不確定的充要條件；　

⑥共線的向量，若起點不同，則終點一定不同.

解：①不正確.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個向量、在同一直線上.

②不正確.單位向量模均相等且為1，但方向并不確定.

③不正確.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的.

④、⑤正確.⑥不正確.如圖與共線，雖起點不同，但其終點卻相同.

評述：本題考查基本概念，對于零向量、單位向量、平行向量、共線向量的概念特征及相互關(guān)系必須把握好.

例2下列命題正確的是(　　 )　

A.a與b共線，b與c共線，則a與c也共線　

B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點　

C.向量a與b不共線，則a與b都是非零向量　

D.有相同起點的兩個非零向量不平行

解：由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上，而此時就構(gòu)不成四邊形，根本不可能是一個平行四邊形的四個頂點，所以B不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點是否相同無關(guān)，所以D不正確；對于C，其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題來入手考慮，假若a與b不都是非零向量，即a與b至少有一個是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可有a與b共線，不符合已知條件，所以有a與b都是非零向量，所以應(yīng)選C.

評述：對于有關(guān)向量基本概念的考查，可以從概念的特征入手，也可以從反面進(jìn)行考慮，要啟發(fā)學(xué)生注意這兩方面的結(jié)合

4．向量與有向線段的區(qū)別：

(1)向量是自由向量，只有大小和方向兩個要素；與起點無關(guān)：只要大小和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量；

(2)有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段

3.實數(shù)與向量不能相加減，但實數(shù)與向量可以相乘.

初學(xué)向量的同學(xué)很可能認(rèn)為一個實數(shù)與一個向量之間可進(jìn)行加法或者減法，這是錯誤的.實數(shù)與向量之間不能相加減，但可相乘，相乘的意義就是幾個相等向量相加.

2.向量不能比較大小

我們知道，長度相等且方向相同的兩個向量表示相等向量，但是兩個向量之間只有相等關(guān)系，沒有大小之分，“對于向量a，b，a＞b，或a＜b”這種說法是錯誤的.

6.共線向量與平行向量關(guān)系：

平行向量就是共線向量，這是因為任一組平行向量都可移到同一直線上.

說明：(1)平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；

(2)共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.

探究：1.對向量概念的理解

要深刻理解向量的概念，就要深刻理解有向線段這一概念.在線段AB的兩個端點中，我們規(guī)定了一個順序，A為起點，B為終點，我們就說線段AB具有射線AB的方向，具有方向的線段就叫做有向線段.通常有向線段的終點要畫箭頭表示它的方向，以A為起點，以B為終點的有向線段記為，需要學(xué)生注意的是：的字母是有順序的，起點在前終點在后，所以我們說有向線段有三個要素：起點、方向、長度.

既有大小又有方向的量，我們叫做向量，有些向量既有大小、方向、作用點(起點)，比如力；有些向量只有大小、方向，比如位移、速度，我們現(xiàn)在所學(xué)的向量一般指后者.

5.相等向量定義：

長度相等且方向相同的向量叫相等向量.

說明：(1)向量a與b相等，記作a＝b；

(2)零向量與零向量相等；

(3)任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關(guān).

4.平行向量定義：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；

②我們規(guī)定0與任一向量平行.

說明：(1)綜合①、②才是平行向量的完整定義；

(2)向量a、b、c平行，記作a∥b∥c.

3.零向量、單位向量概念：

①長度為0的向量叫零向量，記作的方向是任意的

注意與0的區(qū)別

②長度為1個單位長度的向量，叫單位向量.

說明：零向量、單位向量的定義都是只限制大小，不確定方向.