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類型Ⅴ：設二次函數ƒ(x)=ax²+bx+c(a>0)方程ƒ(x)－x=0的兩個根x₁，x₂滿足0<x₁<x₂<。

(Ⅰ)當X∈(0,x₁)時，證明X<ƒ(x)<x₁。

(Ⅱ)設函數ƒ(x)的圖象關于直線x=x₀對稱，證明x₀< 。

解題思路：

本題要證明的是x<ƒ(x)，ƒ(x)<x₁和x₀< 　，由題中所提供的信息可以聯想到：①ƒ(x)=x，說明拋物線與直線y=x在第一象限內有兩個不同的交點；②方程ƒ(x)－x=0可變為ax²+(b－1)x+1=0，它的兩根為x₁,x₂，可得到x₁,x₂與a.b.c之間的關系式，因此解題思路明顯有三條①圖象法②利用一元二次方程根與系數關系③利用一元二次方程的求根公式，輔之以不等式的推導。現以思路②為例解決這道題：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(Ⅰ)先證明x<ƒ(x)，令ƒ(x)=ƒ(x)-x，因為x₁,x₂是方程ƒ(x)-x=0的根，ƒ(x)=ax²+bx+c，所以能ƒ(x)=a(x－x₁)(x－x₂)

因為0<x₁<x₂,所以,當x∈(0,x₁)時, x－x₁<0, x－x₂<0得(x－x₁)(x－x₂)>0,又a＞0,因此ƒ(x) ＞0,即ƒ(x)-x＞0.至此,證得x<ƒ(x)

根據韋達定理,有　 x₁x₂=　　∵ 0＜x₁＜x₂<，c=ax₁x₂<x=ƒ(x₁),　　　 又c=ƒ(0),∴ƒ(0)<ƒ(x₁), 根據二次函數的性質，曲線y=ƒ(x)是開口向上的拋物線，因此，函數y=ƒ(x)在閉區間[0，x₁]上的最大值在邊界點x=0或x=x₁處達到，而且不可能在區間的內部達到，由于ƒ(x₁)>ƒ(0)，所以當x∈(0,x₁)時ƒ(x)<ƒ(x₁)=x_1，

即x<ƒ(x)<x₁

函數ƒ(x)的圖象的對稱軸為直線x=－ ,且是唯一的一條對稱軸，因此，依題意，得x₀=－，因為x₁,x₂是二次方程ax²+(b－1)x+c=0的根，根據違達定理得，x₁+x₂=－，∵x₂－<0，

∴x₀=－=(x₁+x₂－)<,即x₀=。

二次函數，它有豐富的內涵和外延。作為最基本的冪函數，可以以它為代表來研究函數的性質，可以建立起函數、方程、不等式之間的聯系，可以偏擬出層出不窮、靈活多變的數學問題，考查學生的數學基礎知識和綜合數學素質，特別是能從解答的深入程度中，區分出學生運用數學知識和思想方法解決數學問題的能力。

二次函數的內容涉及很廣，本文只討論至此，希望各位同仁在高中數學教學中也多關注這方面知識，使我們對它的研究更深入。　

在高中階階段學習單調性時，必須讓學生對二次函數y=ax²+bx+c在區間(－∞，－]及[－，+∞) 上的單調性的結論用定義進行嚴格的論證，使它建立在嚴密理論的基礎上，與此同時，進一步充分利用函數圖象的直觀性，給學生配以適當的練習，使學生逐步自覺地利用圖象學習二次函數有關的一些函數單調性。

類型Ⅲ：畫出下列函數的圖象，并通過圖象研究其單調性。

(1)y=x²+2|x－1|－1 (2)y=|x²－1| (3)= x²+2|x|－1

這里要使學生注意這些函數與二次函數的差異和聯系。掌握把含有絕對值記號的函數用分段函數去表示，然后畫出其圖象。

類型Ⅳ設ƒ(x)=x²－2x－1在區間[t,t+1]上的最小值是g(t)。

求：g(t)并畫出 y=g(t)的圖象

解：ƒ(x)=x²－2x－1=(x－1)²－2，在x=1時取最小值－2

當1∈[t,t+1]即0≤t≤1，g(t)=－2

當t＞1時，g(t)=ƒ(t)=t²－2t－1

當t＜0時，g(t)=ƒ(t+1)=t²－2

　　　　 　　t²－2, (t<0)

　 g(t)= 　-2，(0≤t≤1)

　　　　　 t²－2t－1, (t>1)

首先要使學生弄清楚題意，一般地，一個二次函數在實數集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當定義域發生變化時，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識，可以再給學生補充一些練習。

如：y=3x²－5x+6(-3≤x≤－1)，求該函數的值域。

初中階段已經講述了函數的定義，進入高中后在學習集合的基礎上又學習了映射，接著重新學習函數概念，主要是用映射觀點來闡明函數，這時就可以用學生已經有一定了解的函數，特別是二次函數為例來加以更深認識函數的概念。二次函數是從一個集合A(定義域)到集合B(值域)上的映射ƒ:A→B，使得集合B中的元素y=ax²+bx+c(a≠0)與集合A的元素X對應，記為ƒ(x)= ax²+ bx+c(a≠0)這里ax²+bx+c表示對應法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學生對函數的概念有一個較明確的認識，在學生掌握函數值的記號后，可以讓學生進一步處理如下問題：

類型I：已知ƒ(x)= 2x²+x+2，求ƒ(x+1)

這里不能把ƒ(x+1)理解為x=x+1時的函數值，只能理解為自變量為x+1的函數值。

類型Ⅱ：設ƒ(x+1)=x²－4x+1,求ƒ(x)

這個問題理解為，已知對應法則ƒ下，定義域中的元素x+1的象是x²－4x+1，求定義域中元素X的象，其本質是求對應法則。

一般有兩種方法：

(1)把所給表達式表示成x+1的多項式。

ƒ(x+1)=x²－4x+1=(x+1)²－6(x+1)+6，再用x代x+1得ƒ(x)=x²－6x+6

(2) 變量代換：它的適應性強，對一般函數都可適用。

　　 令t=x+1，則x=t-1　 ∴(t)=(t-1)²－4(t-1)+1=t²－6t+6從而ƒ(x)= x²－6x+6

25.The thief broke in，trying to open the safe but　　　 .

　 A.in vain　　　　　　　　 B.in no way　　　　　　 C.on no condition　　　 D.on purpose

　 答案　 A

24.This study shows that　　　　 languages may differ，the order in which young kids learn the parts of speech appears to be the same across different languages.

　 A.since　　　　　　　　　 B.so　　　　　　　　　　 C.while　　　　　　　　 D.but

　 答案　 C

23.Having lived in the town for quite a few years，Mr. Johnson no longer felt　　　 among the

　 local people.

　 A.out of order　　　　　 B.out of place　　　　　 C.out of control　　　　 D.out of the question

　 答案　 B

22.Dress warmly，　　　 you’ll catch a cold.

　 A.on the contrary　　　　 B.or rather　　　　　　 C.or else　　　　　　　 D.in no way

　 答案　 C

21.There is such a problem　　　 we all should　　　 .

　 A.as;pay attention to it　　　　　　　　　　　　 B.that;attract our attention

　 C.as;pay attention to　　　　　　　　　　　　　　 D.that;attract our attention to it

　 答案　 C

20.-Susan’s head ached　　　　 staring at the screen for over ten hours.

　 -Over ten hours!That’s really　　　 what I can imagine!

　 A.of;above　　　　　　　 B.in;over　　　　　　　 C.through;among　　　　 D.from;beyond

　 答案　 D

19.You can’t attend the party tonight because it is stormy.　　　　 ，you still haven’t got over your high fever.

　 A.Therefore　　　　　　　 B.However　　　　　　　 C.Moreover　　　　　　　 D.Thus

　 答案　 C