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如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，CE⊥AD于點E，AD=8cm，BC=4cm，AB=5cm．從初始時刻開始，動點P，Q 分別從點A，B同時出發，運動速度均為1cm/s，動點P沿A-B--C--E的方向運動，到點E停止；動點Q沿B--C--E--D的方向運動，到點D停止，設運動時間為xs，△PAQ的面積為ycm²，（這里規定：線段是面積為0的三角形）
解答下列問題：
（1）當x=2s時，y=cm²；當x=

9

2

s時，y=cm²．
（2）當5≤x≤14 時，求y與x之間的函數關系式．
（3）當動點P在線段BC上運動時，求出y=

4

15

S_梯形ABCD時x的值．
（4）直接寫出在整個運動過程中，使PQ與四邊形ABCE的對角線平行的所有x的值．

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB在x軸上，D點y軸上，∠C=60°，BC=6，B點坐標為（4，0）．點M是邊AD上一點，且DM：AD=1：3．點E、F分別從A、C同時出發，以1厘米/秒的速度分別沿AB、CB向點B運動（當點F運動到點B時，點E隨之停止運動），EM、CD的延長線交于點P，FP交AD于點Q．⊙E半徑為

5

2

，設運動時間為x秒．
（1）求直線BC的解析式；
（2）當x為何值時，PF⊥AD；
（3）在（2）問條件下，⊙E與直線PF是否相切？如果相切，加以證明，并求出切點的坐標；如果不相切，說明理由．

如圖①，在平面直角坐標系xoy中，直線y=-

3

3

x+2分別交x軸、y軸于C、A兩點．將射線AM繞著點A順時針旋45°得到射線AN．點D為AM上的動點，點B為AN上的動點，點C在∠MAN的內部．
（1）求線段AC的長；
（2）當AM∥x軸，且四邊形ABCD為梯形時，求△BCD的面積；
（3）求△BCD周長的最小值；
（4）當△BCD的周長取得最小值，且BD=

5 2

6

時，△BCD的面積為．（第（4）問需填寫結論，不要求書寫）

如圖a，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=a，CD=b，點E、F分別是兩腰AD、BC上的點，且EF∥AB，設EF到CD、AB的距離分別為d₁、d₂，某同學在對這一圖形進行研究時，發現如下事實：
①當

d1

d2

=

1

1

時，有EF=

a+b

2

；
當

d1

d2

=

1

2

時，有EF=

a+2b

3

；
當

d1

d2

=

1

3

時，有EF=

a+3b

4

；
當

d1

d2

=

1

4

時，有EF=

a+4b

5

；
②當

d1

d2

=

2

1

時，有EF=

2a+b

3

；當

d1

d2

=

3

1

時，有EF=

3a+b

4

；
當

d1

d2

=

4

1

時，有EF=

4a+b

5

；當

d1

d2

=

5

1

時，有EF=

5a+b

6

．
根據以上結論，解答下列問題：
（1）猜想當

d1

d2

=

1

n

和

d1

d2

=

m

1

時，分別能得到什么結論（其中m、n均為正整數）？
（2）進一步猜想當

d1

d2

=

m

n

時，有何結論（其中m、n均為正整數）？并證明你的結論；
（3）如圖b，有一塊梯形耕地ABCD，AB∥CD，CD=100米，AB=300米，AD=500米，在AD上取兩點E、F，使DE=200米，EF=150米，分別從E、F兩處為起點開挖兩條平行于兩底的水渠，直到另一腰，求這兩條水渠的總長度．