Question

22、如圖所示，已知△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發，分別沿AB、BC方向勻速運動，其中點P運動的速度是1m/s，點Q運動的速度是2m/s，當點Q到達點C時，P、Q兩點都停止運動，設運動時間為t s，解答下列問題：
（1）當點Q到達點C時，PQ與AB的位置關系如何？請說明理由．
（2）在點P與點Q的運動過程中，△BPQ是否能成為等邊三角形？若能，請求出t，若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）當出發后兩秒時，AP=2×1=2，所以BP=4，BQ=2×2=4，又三角形ABC是等邊三角形，∠B=60°，所以△BPQ是等邊三角形，∠BPQ=∠A=60°，所以PQ∥AC．
（2）過Q作QH⊥AB，因為∠B=60°，所以∠BQH=30°，又BQ=2t，所以BH=t，由勾股定理，得QH=3t，所以得面積S為 32t（6-t）．

解答：解：（1）當點Q到達點C時，PQ與AB垂直，即△BPQ為直角三角形． 理由是：
∵AB=AC=BC=6cm，∴當點Q到達點C時，BP=3cm，
∴點P為AB的中點．
∴QP⊥BA（等邊三角形三線合一的性質）．

（2）假設在點P與點Q的運動過程中，△BPQ能成為等邊三角形，
∴BP=PQ=BQ，
∴6-t=2t，
解得t=2．
∴當t=2時，△BPQ是個等邊三角形．

點評：本題是一個綜合性很強的題目，主要考查等邊三角形的性質，動點的問題，同學們要認真作答．